Theorema egregium

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le theorema egregium (« théorème remarquable » en latin) est un important théorème énoncé par Carl Friedrich Gauss et portant sur la courbure des surfaces. Il énonce que celle-ci peut être entièrement déterminée à partir de la métrique locale de la surface, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas de la manière dont la surface peut être plongée dans l'espace tridimensionnel. Considérons une surface de l'espace euclidien R. La distance intrinsèque entre deux points est définie comme l'infimum des longueurs des courbes tracées sur la surface et joignant ces deux points (par exemple la distance intrinsèque de deux points opposés de la sphère unité est , alors que leur distance euclidienne est 2). Une courbe minimisant la longueur entre deux points s'appelle une géodésique. Deux surfaces sont isométriques s'il existe une bijection entre les deux surfaces préservant la distance. Elles sont localement isométriques s'il existe une telle bijection définie au voisinage de chaque point. La courbure de Gauss d'une surface s'obtient de plusieurs manières : comme le produit du maximum et du minimum de la courbure d'une géodésique passant par ce point, ou, ce qui revient au même, de la courbure en ce point des intersections de la surface avec deux plans perpendiculaires entre eux passant par la normale ; comme le rapport entre l'aire d'un voisinage infinitésimal du point et l'aire de son image sur la sphère par l'application normale. Dans ces deux définitions, on voit que la courbure de Gauss dépend, a priori, de la manière dont la surface est plongée dans l'espace : on peut obtenir des surfaces localement isométriques par des plongements distincts de la surface dans l'espace. L'exemple le plus simple est donné par l'exemple du plan et la surface d'un cylindre : comme on peut « enrouler » une feuille de papier plane sur un cylindre, on obtient une isométrie locale du plan sur le cylindre ; en effet, la déformation (sans froissage) d'une feuille de papier ne modifie pas la distance entre deux points proches.