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Concept
Ensemble négligeable
Résumé
vignette|Le triangle de Sierpiński est un exemple d'ensemble nul de points dans R 2 \mathbb {R} ^{2}.
En théorie de la mesure, dans un espace mesuré, un ensemble négligeable est un ensemble de mesure nulle ou une partie d'un tel ensemble. La définition peut dépendre de la mesure choisie : deux mesures sur un même espace mesurable qui ont les mêmes ensembles de mesure nulle sont dites équivalentes.
À un niveau élémentaire, il est possible d'aborder la notion d'ensemble négligeable pour un certain nombre d'espaces (dont la droite réelle) sans avoir à introduire une mesure.
L'ensemble des parties négligeables d'un espace mesuré a les propriétés suivantes :
tout sous-ensemble mesurable d'une partie négligeable a une mesure nulle, conséquence de la monotonie des mesures ;
tout sous-ensemble d'une partie négligeable est négligeable ;
toute union dénombrable d'ensembles (mesurables) de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle, conséquence de la sous-additivité des mesures ;
toute union dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.
A priori, la notion de partie négligeable parait plus générale que celle d'ensemble de mesure nulle, car elle autorise des ensembles non mesurables. Toutefois, il est possible de compléter la tribu en une tribu incluant les ensembles négligeables non mesurables, et de prolonger la mesure en une mesure sur . On parle alors de mesure complète ; pour une mesure complète, tout ensemble négligeable est mesurable, donc de mesure nulle.
Dans les espaces , la mesure généralement utilisée est la mesure de Lebesgue, unique mesure à proportionnalité près invariante par les isométries.
Pour cette mesure, tout singleton a une mesure nulle. Donc, en utilisant la troisième propriété énoncée ci-dessus, on voit sans difficulté que tout sous-ensemble fini ou dénombrable de est négligeable.
Ainsi, si l'on note la mesure de Lebesgue sur alors .
Il existe dans des parties boréliennes — et même compactes — de mesure de Lebesgue nulle qui ont la puissance du continu, c'est-à-dire qu'elles sont équipotentes à .
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