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Concept
Théorème des cinq points
Résumé
En géométrie, le théorème des cinq points est un énoncé sur les coniques du plan, démontré initialement par Blaise Pascal. Il assure que par cinq points trois à trois non alignés passe une unique conique propre. Ce théorème admet des versions dégénérées, par exemple, avec quatre conditions d'incidence et une de tangence : il existe une unique conique propre passant par quatre points trois à trois non alignés, et tangente en l'un de ces points à une droite prescrite ne contenant aucun des trois autres points ; ou encore, avec trois conditions d'incidence et deux de tangence : il existe une unique conique propre passant par trois points non alignés prescrits, et tangente en chacun des deux premiers points à une droite prescrite qui ne contient qu'un seul des trois points.
Le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra permet de tracer la conique déterminée par cinq points non trois à trois alignés donnés ; le logo du logiciel est d'ailleurs une illustration de ce théorème.
Möbius a établi un théorème permettant de déterminer le type de conique selon la position relative des cinq points:
On considère d'abord quatre points parmi les cinq, formant ainsi un quadrilatère convexe, par lesquels peuvent passer deux paraboles.
Si le cinquième point est sur l'une des deux paraboles, alors la conique des cinq points est cette parabole ;
Si le cinquième point se trouve à l'intérieur ou à l'extérieur des deux paraboles, c'est une hyperbole ;
Si le cinquième point se trouve à l'intérieur d'un des paraboles mais à l'extérieur de l'autre, c'est une ellipse.
Une fois les points donnés, il existe plusieurs moyens de construire la conique.
Analytiquement, en connaissant les coordonnées des 5 points, on peut utiliser l'algèbre linéaire pour déterminer l'équation de la conique, en substituant les coordonnées dans l'équation type d'une conique et en résolvant le système pour déterminer les coefficients, mais le système est alors à cinq équations pour six inconnues, donc il faut le rendre homogène en introduisant un paramètre d'échelle ; une solution usuelle revient à fixer un des coefficients à 1.
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