Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon de définir l'intégrale, sur un segment, d'une fonction réelle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement. Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann est l'approximation par des fonctions en escalier, pour lesquelles la définition de l'aire sous la courbe est aisée. Les fonctions, définies sur un segment, pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens de Riemann (ou Riemann-intégrables). C'est le cas notamment des fonctions monotones ou continues par morceaux, ou même seulement réglées. La notion d'intégrale établie par Bernhard Riemann se base sur ce que l'on appelle aujourd'hui les sommes de Riemann. Le mathématicien Gaston Darboux a ultérieurement défini une notion d'intégrale, quant à elle, basée sur les sommes de Darboux (ou de manière équivalente sur les fonctions en escalier). Il s'avère que ces deux approches donnent exactement la même notion d'intégrale. Soit un segment inclus dans . Une subdivision de ce segment est la donnée d'une suite finie de points telle que . Une subdivision marquée est la donnée d'une telle subdivision et d'une suite associée telle que pour tout . Le pas d'une subdivision est la distance maximale entre deux consécutifs, c'est-à-dire, . On note l'ensemble des subdivisions marquées de dont le pas est inférieur ou égal à . La définition originelle par Riemann de son intégrale utilisait les sommes de Riemann : Précisons le sens de la limite évoquée dans la définition. Dire qu'une fonction est intégrable d'intégrale (au sens de Riemann) c'est dire que, pour tout réel , il existe un réel tel que pour toute subdivision marquée de pas inférieur ou égal à on a Une approche équivalente à celle de Riemann présentée ci-dessus passe par l'intégrale de Darboux. La définition donnée par Riemann est équivalente à celle de Darboux même si cela n'est pas immédiat et nécessite une preuve.
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