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Concept
Théorème des accroissements finis
Résumé
En analyse, le théorème des accroissements finis (en abrégé : TAF) est à la fois une généralisation et un corollaire du théorème de Rolle. Pour toute fonction dérivable d'une variable réelle, son taux d'accroissement entre deux valeurs est réalisable comme pente d'une des tangentes à son graphe.
Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute droite sécante en deux points à une courbe différentiable, il existe, entre ces deux points, une tangente parallèle à la sécante.
On peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de , alors son compteur (censé indiquer avec une précision infinie la vitesse instantanée) a indiqué au moins une fois la vitesse précise de . »
La solution c n'est pas unique en général. Plus précisément, pour une fonction dérivable sur un intervalle I, la solution c est unique pour tous a < b dans I si et seulement si f est strictement convexe ou strictement concave sur I.
Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont :
le lien entre monotonie et signe de la dérivée ;
le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C en a).
Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur [a,b] et dérivables sur ]a, b[. Il assure qu'il existe un réel c de l'intervalle ]a, b[ tel que
Géométriquement, il signifie que toute courbe représentative d'une fonction différentiable de R dans R, t ↦ (f(t), g(t)), possède une tangente parallèle à l'une quelconque de ses cordes.
Dans le cas où g ne s'annule pas sur ]a, b[, l'égalité peut s'écrire :
Sous cette forme, le théorème est appelé théorème de la moyenne de Cauchy. Il peut être utilisé pour démontrer la règle de L'Hôpital.
Remarque
Si a = –∞ ou b = +∞ et si f et g sont dérivables sur ]a, b[ et possèdent en a et b des limites finies, notées f(a), f(b), g(a) et g(b), on obtient par la même méthode (en remplaçant le théorème de Rolle par une généralisation adaptée) une conclusion identique.
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