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Concept
Morphisme d'anneaux
Résumé
Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B.
Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois propriétés suivantes :
Pour tous a, b dans A :
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(a ∙ b) = f(a) ∙ f(b)
f(1A) = 1B.
L'inclusion canonique de l'anneau Z des entiers relatifs dans l'anneau R des nombres réels est un morphisme injectif ;
Pour n entier strictement positif, la projection de Z sur l'anneau Z/nZ est un morphisme surjectif ;
La conjugaison complexe est un morphisme bijectif du corps commutatif C des nombres complexes sur lui-même, appelé automorphisme de C ;
Étant donné un anneau de fonctions, par exemple l'anneau des fonctions continues de R vers R et un point c de l'ensemble de départ, l'application qui à une fonction f associe la valeur f(c) est un morphisme, dit morphisme d'évaluation ;
De la même façon, A étant un anneau commutatif et c un élément de A, l'application qui associe à un polynôme P de l'anneau A[X] sa valeur P(c) est un morphisme de A[X] vers A ;
Si P est une matrice inversible dans l'anneau des matrices carrées à coefficients dans un anneau R, l'application qui associe à une matrice carrée M la matrice PMP–1 est un automorphisme de l'anneau des matrices.
Si R est un anneau et E un module (à gauche) sur R, on considère pour chaque a de R l'application fa de E vers E définie par fa(x) = ax, qui est un endomorphisme du groupe abélien E. L'application qui à a associe fa est alors un morphisme d'anneaux de l'anneau R vers l'anneau des endomorphismes de groupe de E.
En revanche, les exemples suivants ne sont pas des morphismes :
L'application nulle (sauf si l'anneau d'arrivée est l'anneau trivial) : bien qu'elle préserve les deux opérations, et soit à ce titre un morphisme de pseudo-anneaux, elle ne vérifie pas la condition relative aux neutres multiplicatifs.
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