Tangente à un cercle

En géométrie plane euclidienne, une tangente au cercle est une droite qui touche un cercle en un point unique, sans passer par l'intérieur du cercle. Les droites tangents aux cercles sont le sujet de nombreux théorèmes, et apparaissent dans de nombreuses constructions à la règle et au compas et des preuves. Une propriété souvent utilisée dans ces théorèmes est que la tangente en un point du cercle est orthogonale au rayon du cercle passant par le point de contact. Une droite tangente (t) à un cercle C intersecte le cercle en un point unique T, contrairement aux sécantes qui passent nécessairement par deux points du cercle. Cette propriété de tangence est conservée par de nombreuses transformations géométriques, comme les homothéties, les rotations, les translations, les inversions, et les projections. On dit que ces transformations conservent la structure d'incidence de la droite et du cercle, même si les images peuvent être déformées. Le rayon d'un cercle est perpendiculaire à la tangente à son extrémité au bord du cercle. Réciproquement, la perpendiculaire au rayon passant par son extrémité est la tangente au cercle. La figure géométrique résultante du cercle et sa tangente montre une symétrie axiale le long du rayon. Aucune tangente ne passe par un point intérieur au cercle, car elle serait dès lors une sécante. Cependant, par un point extérieur P au cercle, il passe deux tangentes au cercle. La figure géométrique qui résulte de cette construction a une symétrie axiale le long de la droite passant par P et le centre du cercle. Ainsi, les longueurs des segments entre P et les points de tangence sont égaux. Par le théorème sécante-tangente, le carré de cette longueur de tangente est égale à la puissance du point par rapport au cercle. Cette puissance est égale au produit des distances de P à chacun des deux points d'intersection du cercle avec une sécante passant par P. La droite tangente et le point de tangence ont une relation de conjugaison de l'un à l'autre, qui a été généralisé dans l'idée des pôles et polaires.