Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz, est un théorème qui représente les éléments du dual d'un espace de Hilbert comme produit scalaire par un vecteur de l'espace. Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur d'un espace de Hilbert , la forme linéaire qui à associe ⟨y, x⟩ est continue sur (sa norme est égale à celle de , d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur s'obtient de cette façon. Soient : un espace de Hilbert (réel ou complexe) muni de son produit scalaire noté ⟨∙, ∙⟩ ; f ∈ H une forme linéaire continue sur . Alors il existe un unique dans tel que pour tout de on ait f(x) = ⟨y, x⟩. On sait déjà — comme rappelé en introduction et démontré dans le § « Structure du dual » de l'article sur les espaces préhilbertiens — que l'application R-linéaire (semi-linéaire dans le cas complexe)est injective (et même isométrique). Cette injectivité se traduit par l'unicité de y pour tout f. On peut remarquer que si H est de dimension finie, la surjectivité — c'est-à-dire l'existence de y pour tout f — s'en déduit, puisque l'espace dual formule|''H est alors de même dimension sur R''' que H. Démontrons à présent l'existence de y, sans hypothèse de dimension. Si f est la forme nulle, il suffit de choisir . Supposons que f n'est pas identiquement nulle. Son noyau ker f est alors un hyperplan, or il est fermé (par continuité de f). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert, l'orthogonal de cet hyperplan est donc une droite vectorielle qui lui est supplémentaire. Soit un vecteur de cette droite tel que f(b) = 1. Pour y = b/‖b‖, les deux formes linéaires f et ⟨y, ∙⟩ coïncident non seulement sur ker f = b mais aussi sur b, donc partout.

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