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Concept
Cercle unité
Résumé
thumb|Cercle unité
Le cercle unité est une expression courante pour désigner l'ensemble des nombres complexes de module 1. Si le module est vu comme une norme euclidienne, le cercle est une courbe de longueur 2π, et est le bord d'un disque d'aire π. Le cercle unité est l'image de l'axe des imaginaires purs iR par l'exponentielle complexe.
Le cercle unité est stable par produit. C'est un sous-groupe du groupe des inversibles C* de C. Plus précisément, c'est son plus grand sous-groupe compact.
D'après le site Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, l'expression “unit circle” est attribuée à George Albert Wentworth vers 1890. L'expression fut utilisée pour décrire le cercle trigonométrique, et introduire les fonctions trigonométriques, telles qu'elles sont enseignées aujourd'hui dans l'enseignement des mathématiques dans le secondaire.
Le cercle unité, en général noté U ou T (tore à une dimension), est l'ensemble des nombres complexes z dont le module z vaut 1. Autrement dit, z appartient à U si et seulement si z = 1. Donc, l'inverse de z est son conjugué , lui-même de module 1. De même le produit de deux nombres complexes de module 1 est de module 1. L'ensemble U est donc un groupe pour la multiplication des nombres complexes. Les nombres complexes 1, –1, i et –i appartiennent au cercle unité.
Le cercle unité est le plus grand sous-groupe borné de C*. Autrement dit, tout sous-groupe borné de C* est inclus dans le cercle unité U. En particulier, les sous-groupes finis G de C* sont inclus dans U. L'unique sous-groupe d'ordre n est le groupe des racines n-ièmes de l'unité.
L'application exponentielle est un morphisme du groupe additif (C,+) vers le groupe multiplicatif (C*, ×).
Autrement dit, pour tous w et z,
Si w est un imaginaire pur, alors exp(w) est de module 1. L'image de la droite des imaginaires purs iR est exactement le cercle unité U. En particulier, l'exponentielle définit un morphisme surjectif de groupes . Ce morphisme est périodique, et la période est 2π.
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