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Concept
Théorème des valeurs extrêmes
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème des valeurs extrêmes ou théorème des bornes atteintes ou théorème des bornes ou théorème de Weierstrass énonce qu'une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, une telle fonction possède un minimum et un maximum sur ce segment.
Ce résultat peut être démontré par la compacité des segments réels, mais repose plus fondamentalement sur la propriété de la borne supérieure.
A priori, les valeurs de c et d ne sont pas uniques et rien n'indique que c soit inférieur ou supérieur à d.
Ce théorème, avec le théorème des valeurs intermédiaires, est à la fois suffisamment important pour qu'il soit impératif à la compréhension de la théorie des fonctions réelles de la variable réelle et suffisamment complexe pour que sa démonstration soit omise dans les cours élémentaires (il n'est démontré que dans l'enseignement supérieur en France). Si leurs démonstrations sont complexes c'est qu'elles font nécessairement appel à la topologie du corps des nombres réels.
Il apparaît dans les cours de Weierstrass au cours des années 1870, mais il a été démontré précédemment par Bolzano dans son traité Rein analytischer Beweis de 1817 à l'aide de la propriété de la borne supérieure (il admet seulement le critère de Cauchy pour la convergence des suites).
Comme beaucoup de théorèmes fondés sur la topologie, il est intuitif. Il signifie que toute fonction continue et définie sur un intervalle fermé atteint son maximum et son minimum.
Un espace sur lequel toute fonction continue à valeurs réelles est bornée s'appelle un . Sur un tel espace, toute fonction continue f à valeurs réelles atteint automatiquement sa borne supérieure M (sinon, la fonction 1/(M – f) serait continue et non bornée) et, de même, sa borne inférieure. Le théorème des bornes peut donc s'énoncer ainsi : tout segment réel est pseudo-compact.
La topologie fournit deux théorèmes qui rendent la démonstration évidente. Sans la topologie, la démonstration est relativement délicate pour un résultat aussi intuitif.
Source officielle
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