Espace séparable

En mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier. espace à base dénombrable Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais : Tout espace pseudométrisable séparable est à base dénombrable.Beaucoup d'espaces usuels sont de ce type. L'hypothèse de séparabilité se retrouve abondamment dans les résultats d'analyse fonctionnelle. Tout sous-espace d'un espace pseudométrisable séparable est encore séparable (l'hypothèse de pseudométrisabilité est indispensable : voir § « Propriétés » ci-dessous).Cela se déduit de ce qui précède, sachant que tout sous-espace d'un espace à base dénombrable est encore à base dénombrable. Mais il est possible d'en donner une démonstration directe sans utiliser l'équivalence, pour un espace pseudométrisable, entre la séparabilité et l'existence d'une base dénombrable. Tout espace à base dénombrable est séparable : soit une base dénombrable d'ouverts, que l'on peut sans perte de généralité supposer non vides. En choisissant un point dans chacun, on obtient une partie dénombrable dense. Tout espace pseudométrisable séparable est à base dénombrable : soit A une partie dénombrable dense, alors les pseudoboules B(a, 1/n) quand a parcourt A et n parcourt N*, forment une base dénombrable d'ouverts. Tout sous-espace d'un espace pseudométrisable séparable est encore séparable, preuve directe :Soit (X, d) un espace pseudométrique séparable, et soit A un sous-espace de X. On va construire une suite dense dans A.Choisissons (x) une suite dense dans X. Pour tout entier n > 0, fixons un point a de A vérifiant d(x, a) < d(x, A) + 1/n. Soit a un point de A et soit ε > 0. Par densité de (x), il existe un entier n > 3/ε tel que On a alors (par construction de la suite (a)) d(x, a) < ε/3 + 1/n < 2ε/3 donc (par inégalité triangulaire) d(a, a)< ε.