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Concept
Espace normal
Résumé
vignette|Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.
En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.
Soit X un espace topologique. On dit que X est normal s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T4 :
pour tous fermés disjoints F et G, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que F soit inclus dans U et G dans V.
Tout espace topologique métrisable est normal.En effet, il est parfaitement normal, ce qui entraîne qu'il est normal et même complètement normal.Par exemple : R muni de sa topologie usuelle est normal.
Tout ensemble totalement ordonné, muni de la topologie de l'ordre, est (complètement) normal car (héréditairement) collectivement normal et même monotonement normal.
Tout espace compact est normal. Plus généralement, tout espace paracompact est collectivement normal.
Un exemple d'espace compact non complètement normal est la planche de Tychonoff. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que localement compacte).
Si deux espaces topologiques sont homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.
Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).
Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :
Un espace topologique X est T si, et seulement si, pour tout fermé F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhérence de U soit incluse dans O :
Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est T si, et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
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