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Concept
Théorème d'inversion locale
Résumé
En mathématiques, le théorème d'inversion locale est un résultat de calcul différentiel. Il indique que si une fonction f est continûment différentiable en un point, si sa différentielle en ce point est inversible alors, localement, f est inversible et son inverse est différentiable.
Ce théorème est équivalent à celui des fonctions implicites, son usage est largement répandu. On le trouve par exemple utilisé, sous une forme ou une autre, dans certaines démonstrations des propriétés du multiplicateur de Lagrange. Il est aussi utilisé pour démontrer le théorème du redressement.
Sa démonstration utilise une version simple du théorème du point fixe. Elle permet d'établir le résultat dans diverses configurations, un espace vectoriel réel de dimension finie, un espace de Banach ou encore une variété différentielle. Il existe une version plus forte : le théorème d'inversion globale.
Il en existe plusieurs formes, celle proposée ici est relativement générale :
Cet énoncé mérite quelques explications.
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance induite. Un exemple important est celui des espaces vectoriels réels de dimension finie. Certaines versions limitent d'ailleurs leur énoncé à ce cas particulier.
Une différentielle correspond à la généralisation de la notion de dérivée. Un accroissement f(x + h) – f(x), si h est petit, est presque égal à f(x).h. A priori, cette égalité possède un sens si f est une fonction de R dans R et le terme f(x) désigne la dérivée de la fonction f au point x. Si la fonction est définie d'un espace vectoriel dans un autre, ce résultat se généralise mais f(x).h, qui est alors noté dfx ou Dfx, est une application linéaire continue appelée différentielle de f au point x. L'application qui à x associe Dfx est la différentielle de f ; c'est encore une application d'un espace vectoriel dans un autre, on peut parfois la différentier. Si cette opération est réalisable p fois, et si la différentielle p-ième est continue, l'application f est dite de classe Cp.
Source officielle
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