Concept
En mathématiques, et plus précisément en théorie des ordres, une section commençante (également appelée segment initial ou sous-ensemble fermé inférieurement) d'un ensemble ordonné (X,≤) est un sous-ensemble S de X tel que si x est dans S et si y ≤ x, alors y est dans S. Dualement, on appelle section finissante (ou sous-ensemble fermé supérieurement) un sous-ensemble F tel que si x est dans F et si x ≤ y, alors y est dans F. Dans le cas d'un ensemble totalement ordonné, les sections commençantes sont des intervalles ; en particulier, dans le cas de l'ensemble R des nombres réels, les sections commençantes non vides et non identiques à R sont les intervalles de l'une des deux formes ]–∞, a] et ]–∞, a[. Pour la relation d'inclusion, l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble donné X est une section commençante de l'ensemble des parties de Y, pour tout Y tel que X ⊂ Y. Par définition, pour la relation d'inclusion, l'ensemble des voisinages d'un point d'un espace topologique est une section finissante de l'ensemble des parties de cet espace. Dans la liste de propriétés suivante, on peut partout remplacer section commençante par section finissante (en échangeant au besoin maximum et minimum, etc.) Tout ensemble ordonné est section commençante de lui-même. L'intersection et l'union d'une famille de sections commençantes sont des sections commençantes. Le complémentaire d'une section commençante est une section finissante. Étant donné un ensemble ordonné (X,≤), la famille des sections commençantes de X, ordonnée par inclusion, est un treillis complet, le treillis commençant O(X). Étant donné un sous-ensemble arbitraire Y d'un ensemble ordonné X, l'intersection des sections finissantes contenant Y est la plus petite de ces sections finissantes, notée ↑Y. De même, la plus petite section commençante contenant Y est notée ↓Y. Une section finissante de X est dite principale si elle est de la forme ↑{x}, où x est un élément de X ; deux applications importantes de cette terminologie correspondent au cas des idéaux et à celui des ultrafiltres.
