Idéal (théorie des ordres)

En mathématiques, un idéal au sens de la théorie des ordres est un sous-ensemble particulier d'un ensemble ordonné. Bien qu'à l'origine ce terme soit issu de la notion algébrique d'idéal d'un anneau, il a été généralisé en une notion distincte. Les idéaux interviennent dans beaucoup de constructions en théorie des ordres, en particulier des treillis. Un idéal d'un ensemble ordonné (E, ≤) est une partie non vide I de E telle que : I est une section commençante, c'est-à-dire que tout minorant d'un élément de I appartient à I ; I est un ensemble ordonné filtrant, c'est-à-dire que deux éléments quelconques de I possèdent toujours un majorant commun dans I. Cette définition étend aux ordres quelconques la définition originelle d'idéal d'un treillis : Si l'ordre (E, ≤) est un treillis — c'est-à-dire si toute paire {a, b} dans E possède une borne supérieure a⋁b et une borne inférieure a⋀b — une section commençante I est un idéal si et seulement si elle est stable par bornes supérieures finies, c'est-à-dire si elle est non vide et si pour tous a et b dans I, a⋁b appartient à I. La notion duale de celle d'idéal, c'est-à-dire où les ≤ sont inversés et les ⋁ et ⋀ intervertis, est celle de filtre. Les termes « idéal pour l'ordre » et « semi-idéal » sont parfois utilisés pour désigner de simples sections commençantes (et « filtre pour l'ordre » pour de simples sections finissantes). Pour éviter toute confusion, nous n'emploierons les termes « idéal/filtre » que pour des sections (commençantes/finissantes) qui sont filtrantes (à droite/à gauche). Les notions d' et de généralisent celle d'idéal d'un treillis. Un idéal ou un filtre de (E, ≤) est dit propre si c'est un sous-ensemble propre de E. Pour tout élément e de E, le plus petit idéal contenant e est l'ensemble, noté ↓e, des minorants de e. Un tel idéal est dit principal et e est alors appelé un élément principal de cet idéal. Un idéal I de (E, ≤) est dit premier si son complémentaire est un filtre. Puisque par définition tout filtre est non vide, tout idéal premier est propre.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (1)

Concepts associés (22)

Cours associés (17)

Séances de cours associées (204)

MATH-310: Algebra

Study basic concepts of modern algebra: groups, rings, fields.

MATH-311: Rings and modules

The students are going to solidify their knowledge of ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra.

MATH-482: Algebraic number theory

Algebraic number theory is the study of the properties of solutions of polynomial equations with integral coefficients; Starting with concrete problems, we then introduce more general notions like alg

Minimum euclidien des ordres maximaux dans les algèbres centrales à division

Jérôme Chaubert

This work concerns the study of Euclidean minima of maximal orders in central simple algebras. In the first part, we define the concept of ideal lattice in the non-commutative case. Let A be a semi-si

EPFL2007

In the mathematical area of order theory, completeness properties assert the existence of certain infima or suprema of a given partially ordered set (poset). The most familiar example is the completeness of the real numbers. A special use of the term refers to complete partial orders or complete lattices. However, many other interesting notions of completeness exist. The motivation for considering completeness properties derives from the great importance of suprema (least upper bounds, joins, "") and infima (greatest lower bounds, meets, "") to the theory of partial orders.

En mathématiques, un treillis () est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. Un treillis peut être vu comme le treillis de Galois d'une relation binaire. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique. Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis.

Couvre la théorie de la dimension des anneaux, y compris l'additivité de la dimension et de la hauteur, Hauptidealsatz de Krull, et la hauteur des intersections générales complètes.

Couvre les symétries et les lois de conservation dans la dynamique des fluides, soulignant l'importance de maximiser les symétries dans les systèmes fluides idéaux.

Explore les propriétés du gaz, la pression, les gaz idéaux et réels, l'énergie dans les réactions et les lois sur le gaz.