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Concept
Caractère (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, un caractère est une notion associée à la théorie des groupes.
Un caractère sur un groupe G est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif K* d'un corps commutatif K.
Les caractères permettent une généralisation de l'analyse harmonique à de nombreux groupes.
Il correspond à un cas particulier de représentation, celle complexe de degré 1.
Par exemple, un « caractère de Dirichlet modulo n » est un caractère du groupe fini (Z/nZ).
Si le groupe G est topologique, alors un caractère est par définition continu, si G est un groupe de Lie, alors un caractère est différentiable.
La notion de caractère se généralise aux structures d'algèbres (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau).
Dans le cas où l'algèbre est l'algèbre d'un groupe, les deux notions sont équivalentes.
Pour tout corps commutatif K, les caractères d'un groupe G à valeurs dans K* sont K-linéairement indépendants. Il en est de même, plus généralement, pour les caractères d'un monoïde G, c'est-à-dire les morphismes de monoïdes de G dans (K, ×).
En particulier pour tous corps commutatifs k et K, les plongements de k dans K sont K-linéairement indépendants.
Caractère d'un groupe fini
Dans le cas d'un groupe fini, le groupe dual est aussi fini. Il s'identifie au caractères de l'algèbre du groupe complexe associé et forme une famille orthogonale incluse dans le centre de l'algèbre.
Si le groupe est de plus abélien, alors le groupe dual est isomorphe à G, les caractères forment alors une base orthonormale de l'algèbre.
Analyse harmonique sur un groupe abélien fini
Dans le contexte d'un groupe abélien fini, la théorie de l'analyse harmonique est relativement simple à établir. La transformée de Fourier correspond à une somme finie et le groupe dual est isomorphe à G.
En conséquence, les résultats classiques comme l'égalité de Parseval, le théorème de Plancherel ou la formule sommatoire de Poisson s'appliquent.
Dualité de Pontriaguine
L'objectif de la théorie de la dualité de Pontriaguine est la généralisation de l'analyse harmonique au cas où le groupe est abélien et localement compact.
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