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Concept
Caractère d'un groupe fini
Résumé
En mathématiques, un caractère d'un groupe fini est une notion associée à la théorie des groupes.
Un caractère d'un groupe fini G est un morphisme de groupes de G dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls.
Ce concept permet de définir le groupe dual de G, composé de l'ensemble des caractères de G. Il est à la base de l'analyse harmonique sur les groupes abéliens finis.
Cette notion correspond à un cas particulier de caractère d'une représentation d'un groupe fini.
Dans tout l'article, G désigne un groupe fini d'ordre g, C le corps des nombres complexes, C* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls et Ug le sous-groupe des g racines g-ièmes de l'unité. Le groupe G est noté multiplicativement et l'inverse d'un élément s de G est noté s. Le conjugué d'un nombre complexe z est noté .
Un caractère de G est un morphisme de groupes de G dans C*.
Un caractère correspond donc à un cas particulier de représentation d'un groupe fini : c'est le caractère d'une représentation complexe de degré 1 de ce groupe.
L'ensemble des caractères de G est appelé groupe dual de G et est généralement noté Ĝ.
Sa structure de groupe sera élucidée au paragraphe suivant.
Tout caractère de G prend ses valeurs dans le sous-groupe Ug des racines g-ièmes de l'unité.
En effet, un « théorème de Lagrange » indique que si s est un élément de G, alors sg = 1 ; on en déduit que l'image de s par un caractère est une racine g-ième de l'unité.
Un caractère χ vérifie :
Ceci se déduit de la propriété précédente, ou des propriétés de tout caractère d'un groupe compact.
La multiplication confère au dual de G une structure de groupe abélien fini.
En effet, le dual de G est un cas particulier d'ensemble de morphismes de G dans un groupe abélien H (avec ici H = Ug). Or un tel ensemble est toujours un groupe abélien, comme sous-groupe du groupe abélien produit HG (constitué des applications de G dans H et muni de la multiplication par valeurs dans H). De plus, si G et H sont finis alors HG aussi.
Considérons le cas où G est le groupe symétrique d'indice n.
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