En mathématiques, un caractère d'un groupe fini est une notion associée à la théorie des groupes. Un caractère d'un groupe fini G est un morphisme de groupes de G dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls. Ce concept permet de définir le groupe dual de G, composé de l'ensemble des caractères de G. Il est à la base de l'analyse harmonique sur les groupes abéliens finis. Cette notion correspond à un cas particulier de caractère d'une représentation d'un groupe fini. Dans tout l'article, G désigne un groupe fini d'ordre g, C le corps des nombres complexes, C* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls et Ug le sous-groupe des g racines g-ièmes de l'unité. Le groupe G est noté multiplicativement et l'inverse d'un élément s de G est noté s. Le conjugué d'un nombre complexe z est noté . Un caractère de G est un morphisme de groupes de G dans C*. Un caractère correspond donc à un cas particulier de représentation d'un groupe fini : c'est le caractère d'une représentation complexe de degré 1 de ce groupe. L'ensemble des caractères de G est appelé groupe dual de G et est généralement noté Ĝ. Sa structure de groupe sera élucidée au paragraphe suivant. Tout caractère de G prend ses valeurs dans le sous-groupe Ug des racines g-ièmes de l'unité. En effet, un « théorème de Lagrange » indique que si s est un élément de G, alors sg = 1 ; on en déduit que l'image de s par un caractère est une racine g-ième de l'unité. Un caractère χ vérifie : Ceci se déduit de la propriété précédente, ou des propriétés de tout caractère d'un groupe compact. La multiplication confère au dual de G une structure de groupe abélien fini. En effet, le dual de G est un cas particulier d'ensemble de morphismes de G dans un groupe abélien H (avec ici H = Ug). Or un tel ensemble est toujours un groupe abélien, comme sous-groupe du groupe abélien produit HG (constitué des applications de G dans H et muni de la multiplication par valeurs dans H). De plus, si G et H sont finis alors HG aussi. Considérons le cas où G est le groupe symétrique d'indice n.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.