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Concept
Dualité de Pontriaguine
Résumé
vignette|La transformée de Fourier
En mathématiques, notamment en analyse harmonique et dans la théorie des groupes topologiques, la dualité de Pontriaguine explique les principales propriétés de la transformée de Fourier. Elle place dans un cadre plus général certaines observations à propos de fonctions définies sur ou sur un groupe abélien fini :
Les fonctions périodiques à valeurs complexes suffisamment régulières ont une série de Fourier et on peut les déduire de cette série;
Les fonctions à valeurs complexes suffisamment régulières ont une transformée de Fourier et, tout comme les fonctions périodiques, on peut les déduire de cette transformée ;
Les fonctions à valeurs complexes sur un groupe abélien fini ont une transformée de Fourier discrète définie sur le groupe dual, qui n'est pas canoniquement isomorphe au groupe de départ. De plus, toute fonction sur un groupe abélien fini peut être déduite de sa transformée de Fourier discrète (à homomorphisme près).
La théorie, introduite par Lev Pontriaguine et combinée avec la mesure de Haar introduite par John von Neumann, André Weil et d'autres, dépend de la théorie du groupe dual d'un groupe abélien localement compact.
Un groupe topologique est localement compact si et seulement si l'élément neutre du groupe admet un voisinage compact, ce qui équivaut encore à ce que possède une base de voisinages compacts. Un des faits les plus remarquables à propos des groupes localement compacts est qu'ils peuvent être munis d'une mesure naturelle, unique à un facteur multiplicatif près : la mesure de Haar, qui permet de mesurer la « taille » d'un sous-ensemble suffisamment régulier de . Ici, « suffisamment régulier » signifie être un borélien, c'est-à-dire un élément de la tribu engendrée par les ensembles compacts. Plus précisément, une mesure de Haar à droite sur un groupe localement compact est une mesure définie sur les boréliens de , qui est invariante par translation à droite dans le sens où si est un borélien et un élément de .
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