Algèbre involutive

En mathématiques, une algèbre involutive ou une algèbre à involution est une algèbre munie d'un isomorphisme sur son algèbre opposée qui est involutif, c'est-à-dire de carré égal à l'identité. Dans cet article, K désigne un anneau commutatif, et les algèbres sur un anneau commutatif sont supposées être associatives et unitaires, et les homomorphismes entre algèbres sont supposés être unitaires, c'est-à-dire envoyer 1 sur 1. Soient A une algèbre sur K et μ la multiplication de A. L'algèbre opposée à A, notée Aop, est le K-module A muni de la multiplication μ' définie par μ'(x, y) = μ(y, x). On appelle antiautomorphisme de A tout isomorphisme de K-algèbre de A sur Aop. On appelle involution (de K-algèbre) de A tout antiautomorphisme J de A tel que J ∘ J est l'identité de A. Les involutions de K-algèbre de A ne sont autres que les automorphisme de K-module f de A tels que f(xy) = f(y)f(x), f(f(x)) = x et f(1) = 1 quels que soient les éléments x et y de A. Soit R un anneau. On appelle involution d'anneau de A toute involution de Z-algèbre de A, c'est-à-dire toute application f de R dans R telle que f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(y)f(x), f(f(x)) = x et f(1) = 1 quels que soient les éléments x et y de R. Si R est un corps, on parle alors d' involution de corps de R. On appelle algèbre involutive sur K tout couple (A, σ) formée d'une K-algèbre A et d'une involution σ sur A. Pour tout élément x de A, on appelle parfois adjoint de x et on note x* l'élément σ(x) de A. On appelle anneau involutif toute Z-algèbre involutive, et on appelle corps involutif tout anneau involutif dont l'anneau sous-jacent est un corps. En analyse, la définition des algèbres involutives est un peu différente : on suppose que ce sont des algèbres complexes et que l'involution J est R-linéaire et telle que J(ax) = J(x), pour tout nombre complexe a et pour tout élément x de l'algèbre. L'anneau de base K est une algèbre involutive, en prenant comme une involution l'identité. Plus généralement, toute algèbre commutative sur K est une algèbre involutive en prenant comme involution l'identité.