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Concept
Série de Dirichlet
Résumé
En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite (a) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes :
f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^s}\quad\text{ou}\quad f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}.
Ici, la suite (λ) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit ℂ tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est holomorphe. Si la partie réelle de s tend vers +∞, la fonction somme, si elle existe, tend vers 0.
Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer
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