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Concept
Géométrie conforme
Résumé
En mathématiques, la géométrie conforme est l'étude de l'ensemble des transformations préservant l'angle (conformes) sur un espace.
Dans un espace réel de dimension 2, la géométrie conforme est précisément la géométrie des surfaces de Riemann. Dans des espaces de dimension supérieure à 2, la géométrie conforme peut se référer soit à l'étude des transformations conformes de ce qu'on appelle les "espaces plats" (tels que les espaces euclidiens ou les sphères), soit à l'étude des variétés conformes qui sont des variétés riemanniennes ou pseudo-riemanniennes. avec une classe de métriques définies à l'échelle près. L'étude des structures plates est parfois appelée géométrie de Möbius, et est un cas particulier de .
Une variété conforme est une variété pseudo-riemannienne munie d'une classe d'équivalence de tenseurs métriques, dans laquelle deux métriques g et h sont équivalentes si et seulement si
où λ est une fonction lisse à valeurs réelles définie sur la variété et est appelée le facteur conforme. Une classe d'équivalence de telles métriques est appelée métrique conforme ou classe conforme. Ainsi, une métrique conforme peut être considérée comme une métrique définie uniquement "au facteur près". Souvent, les métriques conformes sont traitées en choisissant une métrique dans la classe conforme et en appliquant uniquement des constructions "conformément invariantes" par rapport la métrique choisie.
Une métrique conforme est conformément plate s'il existe une métrique plate la représente, au sens habituel où le tenseur de courbure de Riemann s'annule. Il n'est peut-être possible de trouver une métrique dans la classe conforme qui est plate dans un voisinage ouvert de chaque point. Lorsqu'il est nécessaire de distinguer ces cas, cette dernière est appelée localement conformément plate, bien que souvent dans la littérature aucune distinction ne soit faite. La n-sphère est une variété localement conformément plate qui n'est pas globalement conformément plate dans ce sens, alors qu'un espace euclidien, un tore ou toute variété conforme couverte par un sous-ensemble ouvert de l'espace euclidien est (globalement) plat de manière conforme dans ce sens.
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