Géométrie non commutative

La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est une branche des mathématiques, et plus précisément un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre Grothendieck), car s'intéressant à des objets définis à partir de structures algébriques non commutatives. L'idée principale est qu'un espace au sens de la géométrie usuelle peut être décrit par l'ensemble des fonctions numériques définies sur cet espace. Cet ensemble de fonctions forme une algèbre associative sur un corps, qui est aussi commutative : le produit de deux fonctions ne dépend pas du choix d'un ordre. On peut alors songer à voir les algèbres associatives non commutatives comme des « algèbres de fonctions » sur des « espaces non commutatifs », comme le tore non commutatif. L'approche moderne de nombreuses questions géométriques est de s'intéresser à des fonctions définies sur l'espace qu'on veut étudier. Par exemple, l'étude de la géométrie des variétés riemanniennes passe par celle des fonctions méromorphes définies sur la variété, avec comme outil central le théorème de Riemann-Roch et ses généralisations ; la géométrie algébrique, dans sa version refondue par Grothendieck, est tout entière consacrée à l'étude de fonctions généralisées (les schémas). Ces ensembles de fonctions forment, pour l'addition et la multiplication, des anneaux commutatifs, qui caractérisent dans de nombreux cas l'espace correspondant ; on peut dire ainsi que ces espaces ont, en un certain sens, une topologie commutative. Le « rêve » d'une géométrie non commutative est d'associer de même à des anneaux non commutatifs des « espaces » qu'on pourrait interpréter comme le support des éléments de l'anneau, considérés comme des « fonctions ». Les généralisations correspondantes, hautement non triviales, sont appelées des espaces non commutatifs, munis de topologies non commutatives. D'un point de vue technique, une partie de la théorie développée par Alain Connes prend ses racines dans des approches plus anciennes, venant en particulier de la théorie ergodique.