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Concept
Construction des nombres réels
Résumé
En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont :
les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ;
les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui.
C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux. Jusqu'à cette date, l'existence des réels et leurs propriétés sont admises, par exemple par Cauchy dans son cours de 1821. En 1817, Bolzano établit qu'une partie non vide majorée de réels admet une borne supérieure, dans un mémoire resté malheureusement peu répandu et qui a eu peu d'influence jusqu'aux travaux de Weierstrass vers 1865. Les premières constructions, basées sur les suites de Cauchy, sont dues à Méray en 1869, et à Cantor dont les idées furent exposées en 1872 par Heine. Dedekind publie sa construction des réels au moyen des coupures en 1872. En 1878, Dini publie un traité donnant les principales démonstrations sur les nombres réels.
Développement décimal
Un nombre réel est une quantité qui a pour représentation décimale , où est un entier, chaque est un chiffre entre 0 et 9, et la suite ne se termine pas par une infinité de 9. La définition de est alors le nombre qui satisfait cette double inéquation pour tout k :
Cette construction, outre son manque de rigueur sous cette forme, présente divers inconvénients, dont le plus important est la difficulté de donner des algorithmes simples pour la multiplication, et même pour l'addition dans des cas tels que . Terence Tao fait remarquer qu'elle peut être rendue plus naturelle en l'interprétant (comme pour la construction des nombres -adiques) comme la limite projective des ensembles des décimaux à n chiffres après la virgule, munis de règles de calcul arrondi convenables.
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