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Concept
Suite de composition
Résumé
La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.
Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition de G toute suite finie (G_0, G_1, ..., G_r) de sous-groupes de G telle queet que, pour tout i ∈ {0, 1, ..., r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite.
Soient Σ_1 = (G_0, G_1, ..., G_r) et Σ_2 = (H_0, H_1, ..., H_s) deux suites de composition de G. On dit que
Σ_2 est un raffinement de Σ_1, ou encore que Σ_2 est plus fine que Σ_1, si Σ_1 est extraite de Σ_2, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) ... < j(r) = s tels que G_i = H_j(i) pour tout
Σ_1 et Σ_2 sont équivalentes si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, ..., r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G_i/G_i+1 soit isomorphe au quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1.
Soit Σ = (G_0, G_1, ..., G_r) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G_i+1 est un sous-groupe distingué maximal de G_i (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G_i).On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).
Remarque : les auteurs de langue anglaise appellent ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.
Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
S_3 ⊃ A_3 ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
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