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Concept
Méthode d'Euler
Résumé
En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles.
thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial.
La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme
où I est un intervalle de et f, une fonction réelle sur .
Étant donné une condition initiale , la méthode fournit pour tout point b ∈ I une suite d'approximations de la valeur u(b) que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur f peuvent assurer la convergence de cette suite.
La valeur u(b) s'obtient en calculant n valeurs intermédiaires de la solution approchée aux points régulièrement répartis entre a et b, donnés par
En étendant cette notation à x = a, y = u(a) et x = b, y = u(b) et en utilisant l'approximation de la dérivée
On en déduit la relation suivante :
Les valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence
qui est le schéma d'Euler explicite.
En remarquant que l'on peut aussi approcher la dérivée en x par la même relation
on en déduit la relation de récurrence
qui est le schéma d'Euler implicite. On notera que dans ce schéma, le terme y apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui contraint à utiliser des méthodes de résolution numérique du type de la méthode de Newton-Raphson pour déterminer y à chaque itération si la fonction f est non linéaire.
L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction f est continue et ne dépend que de x : . On démontre alors, en utilisant la continuité uniforme de f sur [a ,b] (théorème de Heine), que la suite est de Cauchy, et donc converge par complétude de .
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