Méthode d'Euler

Résumé

En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. Principe de la méthode thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial. La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme : \forall x\in I, u'(x)=f(x,u(x)) où I est un intervalle de \mathbb R et f, une fonction réelle sur I\times\mathbb R. Étant donné une condition initiale (a,u(a))\in I\times\mathbb R, la méthode fournit pour tout point b ∈ I une suite (u_n(b))_{n\in\mathbb N} d'approximations de la val

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_d'Euler

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We describe the first gradient methods on Riemannian manifolds to achieve accelerated rates in the non-convex case. Under Lipschitz assumptions on the Riemannian gradient and Hessian of the cost function, these methods find approximate first-order critical points faster than regular gradient descent. A randomized version also finds approximate second-order critical points. Both the algorithms and their analyses build extensively on existing work in the Euclidean case. The basic operation consists in running the Euclidean accelerated gradient descent method (appropriately safe-guarded against non-convexity) in the current tangent space, then moving back to the manifold and repeating. This requires lifting the cost function from the manifold to the tangent space, which can be done for example through the Riemannian exponential map. For this approach to succeed, the lifted cost function (called the pullback) must retain certain Lipschitz properties. As a contribution of independent interest, we prove precise claims to that effect, with explicit constants. Those claims are affected by the Riemannian curvature of the manifold, which in turn affects the worst-case complexity bounds for our optimization algorithms.

SPRINGER2022

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This work aims to investigate, by means of numerical simulation, the evolution of free surface flow in aluminium production cells, and especially the magnetohydrodynamic instabilities. We design a numerical method combining a level-set technique together with a finite element discretization, in order to solve the non-stationnary Navier-Stokes equations and the equation for the motion of the free surface. Our numerical experiments confirms results obtained by other authors and we study the evolution of instabilities calculated by a stationary program, ALUCELL.

EPFL2006

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A Space-Time Adaptive Algorithm to Illustrate the Lack of Collision of a Rigid Disk Falling in an Incompressible Fluid

Samuel Dubuis, Marco Picasso

A space-time adaptive algorithm to solve the motion of a rigid disk in an incompressible Newtonian fluid is presented, which allows collision or quasi-collision processes to be computed with high accuracy. In particular, we recover the theoretical result proven in [M. Hillairet, Lack of collision between solid bodies in a 2D incompressible viscous flow, Comm. Partial Differential Equations 32 (2007), no. 7-9, 1345-1371], that the disk will never touch the boundary of the domain in finite time. Anisotropic, continuous piecewise linear finite elements are used for the space discretization, the Euler scheme for the time discretization. The adaptive criteria are based on a posteriori error estimates for simpler problems.

WALTER DE GRUYTER GMBH2021

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