Résumé
En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial. La méthode d'Euler est une méthode numérique élémentaire de résolution d'équations différentielles du premier ordre, de la forme où I est un intervalle de et f, une fonction réelle sur . Étant donné une condition initiale , la méthode fournit pour tout point b ∈ I une suite d'approximations de la valeur u(b) que prend, lorsqu'elle existe, la solution de l'équation qui correspond à cette condition initiale. Divers jeux de conditions sur f peuvent assurer la convergence de cette suite. La valeur u(b) s'obtient en calculant n valeurs intermédiaires de la solution approchée aux points régulièrement répartis entre a et b, donnés par En étendant cette notation à x = a, y = u(a) et x = b, y = u(b) et en utilisant l'approximation de la dérivée On en déduit la relation suivante : Les valeurs intermédiaires sont alors données par la relation de récurrence qui est le schéma d'Euler explicite. En remarquant que l'on peut aussi approcher la dérivée en x par la même relation on en déduit la relation de récurrence qui est le schéma d'Euler implicite. On notera que dans ce schéma, le terme y apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui contraint à utiliser des méthodes de résolution numérique du type de la méthode de Newton-Raphson pour déterminer y à chaque itération si la fonction f est non linéaire. L'intégration d'une fonction continue sur un segment peut être vue comme un cas particulier où la fonction f est continue et ne dépend que de x : . On démontre alors, en utilisant la continuité uniforme de f sur [a ,b] (théorème de Heine), que la suite est de Cauchy, et donc converge par complétude de .
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Formulation implicite ou explicite d'un problème de dynamique
En simulation numérique, un problème dépendant du temps peut être formulé de manière implicite ou explicite. Un problème dépendant du temps décrit une situation qui évolue ; le système est modélisé à différents instants t discrets appelés « pas de temps ». La méthode explicite consiste à déterminer la solution à t + Δt en fonction de la valeur de la fonction en t. Si la fonction à évaluer s'appelle y(t), alors le problème se formule de la manière suivante : y(t + Δt) = F(y(t)). La méthode d'Euler est une méthode explicite.
Méthode d'Euler
En mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial.
Numerical methods for ordinary differential equations
Numerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation.
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