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Concept
Régularisation zêta
Résumé
En analyse fonctionnelle, la régularisation zêta est une méthode de régularisation des déterminants d'opérateurs qui apparaissent lors de calculs d'intégrales de chemins en théorie quantique des champs.
Soit un domaine compact de à bord . Sur ce domaine, on considère l'opérateur positif , où est le Laplacien, muni de conditions aux limites sur le bord du domaine (Dirichlet, Neumann, mixtes) qui précisent complètement le problème.
Lorsque le domaine est compact, l'opérateur positif possède un spectre discret de valeurs propres auxquels est associée une base orthonormée de vecteurs propres (on utilise ici les notations de Dirac) :
On suppose ici que le fondamental . Par analogie avec la fonction zêta de Riemann, on introduit la fonction zêta spectrale par la série de type Dirichlet :
Cette série ne converge que pour Re(s) suffisamment grand, mais elle admet un prolongement méromorphe à tout le plan complexe.
Lorsque le spectre de l'opérateur n'est pas connu explicitement, on peut utiliser la définition formelle comme trace :
Le déterminant de l'opérateur H est défini par :
Avec l'identité :
on démontre facilement la relation formelle :
où la dérivée de la fonction zêta est évaluée en s = 0.
La fonction zêta est reliée par une transformée de type Mellin :
à la trace du noyau de la chaleur, définie par :
Pour n entier, la régularisation zêta permet de donner un sens à des intégrales divergentes de la forme
Cette méthode a été introduite en théorie quantique des champs par des physiciens comme James Hartle et Emilio Elizalde. On peut l'utiliser pour régulariser le produit de deux distributions en utilisant le théorème de convolution avec intégrales divergentes
Toutes les définitions précédentes se transposent assez naturellement au cas de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une variété riemannienne compacte, qui possède alors également un spectre discret. Elles s'étendent également au cas des variétés non-compactes à bord lorsque le spectre est encore discret
Il est également possible d'étendre la théorie pour un autre opérateur elliptique.
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