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Concept
Objet projectif
Résumé
En théorie des catégories, un objet projectif est une forme de généralisation des modules projectifs. Les objets projectifs dans les catégories abéliennes sont utilisés en algèbre homologique. La notion duale d'objet projectif est celle d'.
Un objet dans une catégorie est dit projectif si pour tout épimorphisme et tout morphisme , il existe un morphisme tel que , c'est-à-dire que le diagramme suivant commute :
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Autrement dit, tout morphisme se factorise par les épimorphismes .
Si C est localement petite, et donc qu'en particulier est un ensemble pour tout objet X de C, cette définition est équivalente à dire que le foncteur hom (également appelé foncteur coreprésentable) :
préserve les épimorphismes.
Si la catégorie C est une catégorie abélienne (comme par exemple la catégorie des groupes abéliens), alors P est projectif si et seulement si
est un foncteur exact (où Ab est la catégorie des groupes abéliens).
Une catégorie abélienne est dite posséder suffisamment de projectifs si, pour tout objet de , il existe un objet projectif de et un épimorphisme de P vers A ou si, de manière équivalente, il existe une suite exacte courte :
L'objectif de cette définition est de s'assurer que tout objet A admette une , c'est-à-dire une suite exacte :
où les objets sont projectifs.
Le coproduit de deux objets projectifs est projectif.
La rétraction d'un objet projectif est projective.
L'affirmation que tous les ensembles sont projectifs est équivalente à l'axiome du choix.
Les objets projectifs de la catégorie des groupes abéliens sont les groupes abéliens libres.
Soit un anneau, et - Mod la catégorie (abélienne) des -modules à gauche. Les objets projectifs de - Mod sont exactement les modules projectifs. Par conséquent, est lui-même un objet projectif dans - Mod. De manière duale, les objets injectifs dans - Mod sont exactement les modules injectifs.
La catégorie des -modules à gauche (resp. à droite) a de plus suffisamment de projectifs. C'est le cas, car pour tout -module à gauche (resp.
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