En mathématiques, la catégorie des modules sur un monoïde R est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées dans l'étude des modules sur un anneau, en les généralisant. L'étude de catégories de modules apparaît naturellement en théorie des représentations et en géométrie algébrique.
Puisqu'un R-module est un espace vectoriel lorsque R est un corps commutatif, on peut dans un tel cas identifier la catégorie des modules sur R à la sur le corps R. D'autre part, tout groupe abélien a une structure naturelle de -module, ce qui permet d'identifier la catégorie des modules sur à la catégorie des groupes abéliens.
Soit C une catégorie monoïdale et R un monoïde de C. La catégorie des modules sur R, notée R-Mod, est la catégorie définie ainsi :
Les objets sont les R-modules dans C, c'est-à-dire les couples (A, M) avec A un anneau commutatif et M un A-module ;
Les morphismes sont les homomorphismes de modules, c'est-à-dire les couples (φ, μ) constitués d'un morphisme d'anneaux φ : A → B et d'un morphisme de A-modules . La composition est la composition usuelle de fonctions, et l'identité est la fonction identité.
On peut munir les hom-set de R-Mod d'une structure de groupe abélien. En effet, si M, N sont deux objets, et si , on peut définir
et la composition de morphismes est donnée par le produit tensoriel issu de la catégorie Ab des groupes abéliens :
ce qui en fait une catégorie Ab-enrichie (donc préadditive). En étendant cette structure à celle d'un R-module, le produit tensoriel de modules permet de doter R-Mod d'une structure de catégorie monoïdale, avec R pour unité. Elle possède en outre un foncteur Hom interne donné par ce produit tensoriel, qui en fait une catégorie monoïdale fermée.
La catégorie R-Mod est , additive et abélienne ;
La catégorie R-Mod est monoïdale fermée ;
R-Mod admet tous les produits et coproduits ;
R-Mod admet tous les noyaux et conoyaux ;
R-Mod est une ;
R-Mod est une bifibration sur R, donnée par le foncteur de projection canonique ;
L'objet initial, final et zéro de R-Mod est le R-module trivial ;
Les monomorphismes sont les morphismes injectifs.
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L'algèbre générale, ou algèbre abstraite, est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et de leurs relations. L'appellation algèbre générale s'oppose à celle d'algèbre élémentaire ; cette dernière enseigne le calcul algébrique, c'est-à-dire les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément.
Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle, de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.
En théorie des catégories, un objet projectif est une forme de généralisation des modules projectifs. Les objets projectifs dans les catégories abéliennes sont utilisés en algèbre homologique. La notion duale d'objet projectif est celle d'. Un objet dans une catégorie est dit projectif si pour tout épimorphisme et tout morphisme , il existe un morphisme tel que , c'est-à-dire que le diagramme suivant commute : 150px|center Autrement dit, tout morphisme se factorise par les épimorphismes .
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CAMBRIDGE UNIV PRESS2023
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Because building-integrated photovoltaic (BIPV) modules are fully integrated into a building envelope, the back of the module can be exposed to little or no ventilation, resulting in increased operating temperatures. As the temperature increases, the perfo ...