En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :
center
Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.
Les A-modules injectifs sont les de la catégorie abélienne des A-modules (lesquels sont les objets projectifs de la catégorie opposée). Par conséquent, on a le
On en déduit qu'un produit de modules est injectif si, et seulement si chaque facteur du produit est injectif.
Une autre caractérisation est :
En effet, si Q est un sous-module injectif d'un module Y alors le morphisme identité de Q sur lui-même peut se prolonger en un morphisme de Y sur Q, ce qui équivaut à dire que Q est facteur direct dans Y. La réciproque vient du fait que pour tout sous-module X d'un module Y, un morphisme de X dans Q s'étend toujours en un morphisme de Y dans la somme amalgamée Z de Q et Y sur X donc aussi, si le sous-module Q de Z est facteur direct, en un morphisme de Y dans Q.
Q est un Z-module injectif, autrement dit un groupe abélien divisible.
Plus généralement, si A est un anneau intègre :
tout A-module injectif Q est divisible ;
la réciproque est vraie si A est un anneau de Dedekind ou si Q est sans torsion ;
le plus petit A-module injectif contenant A est son corps des fractions.
Le critère de Baer est l'un des principaux moyens pour établir qu'un module est injectif :
La condition nécessaire est évidente, la condition suffisante s'établit grâce au lemme de Zorn.
On montre à partir du critère de Baer le résultat suivant : si l'anneau A est noethérien à gauche, tout module somme directe de A-modules injectifs est injectif. Réciproquement, si tout module somme directe de A-modules à gauche injectifs est injectif, alors A est noethérien à gauche.
Soit M un A-module à gauche.
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In mathematics, and more specifically in homological algebra, a resolution (or left resolution; dually a coresolution or right resolution) is an exact sequence of modules (or, more generally, of s of an ), which is used to define invariants characterizing the structure of a specific module or object of this category. When, as usually, arrows are oriented to the right, the sequence is supposed to be infinite to the left for (left) resolutions, and to the right for right resolutions.
In ring theory, a branch of mathematics, an idempotent element or simply idempotent of a ring is an element a such that a2 = a. That is, the element is idempotent under the ring's multiplication. Inductively then, one can also conclude that a = a2 = a3 = a4 = ... = an for any positive integer n. For example, an idempotent element of a matrix ring is precisely an idempotent matrix. For general rings, elements idempotent under multiplication are involved in decompositions of modules, and connected to homological properties of the ring.
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe abélien divisible est un groupe abélien G tel que, pour tout nombre naturel n ≥ 1, on ait (en notation additive) G = nG. Ceci revient à dire que pour tout élément x de G et tout nombre naturel n ≥ 1, il existe au moins un élément y de G tel que x = ny. On peut étendre cette définition aux groupes non abéliens, un groupe divisible étant un groupe dans lequel (en notation multiplicative) tout élément est n-ième puissance, quel que soit l'entier naturel n ≥ 1.
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