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Concept
Module injectif
Résumé
En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre homologique, un module injectif est un module Q (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme injectif f : X → Y entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : X → Q, il existe un morphisme h : Y → Q tel que hf = g, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :
center
Autrement dit : Q est injectif si pour tout module Y, tout morphisme d'un sous-module de Y vers Q s'étend à Y.
Les A-modules injectifs sont les de la catégorie abélienne des A-modules (lesquels sont les objets projectifs de la catégorie opposée). Par conséquent, on a le
On en déduit qu'un produit de modules est injectif si, et seulement si chaque facteur du produit est injectif.
Une autre caractérisation est :
En effet, si Q est un sous-module injectif d'un module Y alors le morphisme identité de Q sur lui-même peut se prolonger en un morphisme de Y sur Q, ce qui équivaut à dire que Q est facteur direct dans Y. La réciproque vient du fait que pour tout sous-module X d'un module Y, un morphisme de X dans Q s'étend toujours en un morphisme de Y dans la somme amalgamée Z de Q et Y sur X donc aussi, si le sous-module Q de Z est facteur direct, en un morphisme de Y dans Q.
Q est un Z-module injectif, autrement dit un groupe abélien divisible.
Plus généralement, si A est un anneau intègre :
tout A-module injectif Q est divisible ;
la réciproque est vraie si A est un anneau de Dedekind ou si Q est sans torsion ;
le plus petit A-module injectif contenant A est son corps des fractions.
Le critère de Baer est l'un des principaux moyens pour établir qu'un module est injectif :
La condition nécessaire est évidente, la condition suffisante s'établit grâce au lemme de Zorn.
On montre à partir du critère de Baer le résultat suivant : si l'anneau A est noethérien à gauche, tout module somme directe de A-modules injectifs est injectif. Réciproquement, si tout module somme directe de A-modules à gauche injectifs est injectif, alors A est noethérien à gauche.
Soit M un A-module à gauche.
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