Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Inégalité arithmético-géométrique
Résumé
thumb|right|Preuve sans mots de l'inégalité arithmético-géométrique en deux dimensions : PR est un diamètre d'un cercle de centre O ; son rayon AO a donc pour longueur la moyenne arithmétique de a et b. Par le théorème de la moyenne géométrique, on trouve aussi que la hauteur GQ a pour longueur la moyenne géométrique de a et b. On a donc bien pour tous a:b, AO ≥ GQ.
En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.
La moyenne géométrique de réels strictement positifs est inférieure à leur moyenne arithmétique :
avec égalité (si et) seulement si .
Les deux réels (moyenne arithmétique) et (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à
ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à
Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.
Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.
L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0, ... , 0) et (1/n, ... , 1/n).
On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction sur l'ensemble .
George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en considérant :
On considère ensuite a, a, ..., a des nombres réels positifs. On pose ensuite :
On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres a/A, ce qui donne :
dont le produit donne :
soit
ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les a sont tous égaux (à A).
Horst Aizer donne cette preuve : soit f une fonction réelle continue telle qu'il existe x vérifiant
On a alors :
On applique ce résultat à f(t) = –1/t :
On en déduit
soit
donc ln(G/x) ≤ – 1.
Considérer x = A ou G permet de conclure.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Proximité ontologique