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Concept
Inégalité arithmético-géométrique
Résumé
thumb|right|Preuve sans mots de l'inégalité arithmético-géométrique en deux dimensions : PR est un diamètre d'un cercle de centre O ; son rayon AO a donc pour longueur la moyenne arithmétique de a et b. Par le théorème de la moyenne géométrique, on trouve aussi que la hauteur GQ a pour longueur la moyenne géométrique de a et b. On a donc bien pour tous a:b, AO ≥ GQ.
En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.
La moyenne géométrique de réels strictement positifs est inférieure à leur moyenne arithmétique :
avec égalité (si et) seulement si .
Les deux réels (moyenne arithmétique) et (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à
ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à
Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.
Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.
L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0, ... , 0) et (1/n, ... , 1/n).
On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction sur l'ensemble .
George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en considérant :
On considère ensuite a, a, ..., a des nombres réels positifs. On pose ensuite :
On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres a/A, ce qui donne :
dont le produit donne :
soit
ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les a sont tous égaux (à A).
Horst Aizer donne cette preuve : soit f une fonction réelle continue telle qu'il existe x vérifiant
On a alors :
On applique ce résultat à f(t) = –1/t :
On en déduit
soit
donc ln(G/x) ≤ – 1.
Considérer x = A ou G permet de conclure.
Source officielle
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