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Concept
Identités vectorielles
Résumé
Dans cet article, on note pour le produit vectoriel et · pour le produit scalaire.
Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle.
(Identité de Binet-Cauchy)
Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de .
Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien. Cela permet néanmoins de retrouver plus directement les couplages (un indice supérieur s'associant avec un indice inférieur).
Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est noté
En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :
Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b est noté
En convention de sommation d'Einstein cela s'écrit :
Symbole de Levi-Civita
Une identité revenant souvent dans les démonstrations utilisant la convention de sommation d'Einstein est la suivante :
Avec le symbole de Kronecker et le symbole de Levi-Civita.
On a le résultat suivant sur le produit mixte :
L'identité du double produit vectoriel :
La première égalité découle des propriétés du produit vectoriel : . La seconde est démontrée ci-dessous.
L'identité de Binet-Cauchy :
à noter que l'on retrouve l'identité de Lagrange si a=c et si b=d.
Cette section fournit une liste explicite de la signification des symboles utilisés pour plus de clarté.
Divergence (analyse vectorielle)
Pour un champ vectoriel , on écrit généralement la divergence comme suit :
C'est un champ scalaire.
En convention de sommation d'Einstein la divergence d'un champ vectoriel s'écrit :
Pour un tenseur , on écrit généralement la divergence comme suit :
Comme la divergence réduit de 1 l'ordre du tenseur, si est d'ordre 2, on aurait un vecteur qui est un tenseur d'ordre 1.
Rotationnel
Pour un champ vectoriel , on écrit généralement le rotationnel comme suit :
C'est un champ vectoriel.
En convention de sommation d'Einstein le rotationnel d'un champ vectoriel s'écrit :
Gradient
Pour un champ vectoriel , on écrit généralement le gradient comme suit :
C'est un tenseur.
Source officielle
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