In mathematics, Green's identities are a set of three identities in vector calculus relating the bulk with the boundary of a region on which differential operators act. They are named after the mathematician George Green, who discovered Green's theorem.
This identity is derived from the divergence theorem applied to the vector field F = ψ ∇φ while using an extension of the product rule that ∇ ⋅ (ψ X ) = ∇ψ ⋅X + ψ ∇⋅X: Let φ and ψ be scalar functions defined on some region U ⊂ Rd, and suppose that φ is twice continuously differentiable, and ψ is once continuously differentiable. Using the product rule above, but letting X = ∇φ, integrate ∇⋅(ψ∇φ) over U. Then
where ∆ ≡ ∇2 is the Laplace operator, ∂U is the boundary of region U, n is the outward pointing unit normal to the surface element dS and dS = ndS is the oriented surface element.
This theorem is a special case of the divergence theorem, and is essentially the higher dimensional equivalent of integration by parts with ψ and the gradient of φ replacing u and v.
Note that Green's first identity above is a special case of the more general identity derived from the divergence theorem by substituting F = ψΓ,
If φ and ψ are both twice continuously differentiable on U ⊂ R3, and ε is once continuously differentiable, one may choose F = ψε ∇φ − φε ∇ψ to obtain
For the special case of ε = 1 all across U ⊂ R3, then,
In the equation above, ∂φ/∂n is the directional derivative of φ in the direction of the outward pointing surface normal n of the surface element dS,
Explicitly incorporating this definition in the Green's second identity with ε = 1 results in
In particular, this demonstrates that the Laplacian is a self-adjoint operator in the L2 inner product for functions vanishing on the boundary so that the right hand side of the above identity is zero.
Green's third identity derives from the second identity by choosing φ = G, where the Green's function G is taken to be a fundamental solution of the Laplace operator, ∆.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Dans cet article, on note pour le produit vectoriel et · pour le produit scalaire. Les identités suivantes peuvent être utiles en analyse vectorielle. (Identité de Binet-Cauchy) Dans cette section, a, b, c et d représentent des vecteurs quelconques de . Dans cet article, les conventions suivantes sont utilisées; à noter que la position (levée ou abaissée) des indices n'a pas, ici, beaucoup d'importance étant donné que l'on travaille dans un contexte euclidien.
En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit. Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715.
vignette|Application de l'équation de Helmholtz. Léquation de Helmholtz (d'après le physicien Hermann von Helmholtz) est une équation aux dérivées partielles elliptique qui apparaît lorsque l'on cherche des solutions harmoniques de l'équation de propagation des ondes de D'Alembert, appelées « modes propres », sur un domaine : Pour que le problème mathématique soit bien posé, il faut spécifier une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple : une condition de Dirichlet, une condition de Neumann, un mélange des deux précédentes etc.
Le but du cours de physique générale est de donner à l'étudiant les notions de base nécessaires à la compréhension des phénomènes physiques. L'objectif est atteint lorsque l'étudiant est capable de pr
Après une introduction à la théorie des catégories, nous appliquerons la théorie générale au cas particulier des groupes, ce qui nous permettra de bien mettre en perspective des notions telles que quo
Le cours étudie les concepts fondamentaux de l'analyse vectorielle et l'analyse de Fourier en vue de leur utilisation pour résoudre des problèmes pluridisciplinaires d'ingénierie scientifique.
Explore le théorème de Green appliqué aux intégrales de surface, en mettant l'accent sur les surfaces régulières et en coordonnant les transformations.
Couvre le concept des fonctions de Green dans les équations de Laplace et leur processus de construction de solution.
Explore le problème de Dirichlet pour l'équation de Laplace et la fonction de Green.
The research examines the entanglement of urban rationalities and industrial biopolitics in constructing company towns' identities and spatialities, providing different housing typologies for its workers. An epitome of spatial production under industrial p ...
We prove an identity relating the permanent of a rank 2 matrix and the determinants of its Hadamard powers. When viewed in the right way, the resulting formula looks strikingly similar to an identity of Carlitz and Levine, suggesting the possibility that t ...
TAYLOR & FRANCIS INC2022
, , , ,
A broad class of imaging modalities involve the resolution of an inverse-scattering problem. Among them, three-dimensional optical diffraction tomography (ODT) comes with its own challenges. These include a limited range of views, a large size of the sampl ...