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Concept
Inversion géométrique
Résumé
En géométrie, l'inversion géométrique est l'étude de l'inversion, une transformation du plan euclidien qui envoie des cercles ou des lignes vers d'autres cercles ou lignes et qui préserve les angles entre les courbes de croisement. De nombreux problèmes difficiles en géométrie deviennent beaucoup plus faciles à résoudre lorsqu'une inversion est appliquée. L'inversion semble avoir été découverte par un certain nombre de personnes à la même époque, dont Steiner (1824), Quetelet (1825), Bellavitis (1836), Stubbs et Ingram (1842-3) et Kelvin (1845).
Le concept d'inversion peut être généralisé aux espaces de dimension supérieure.
Inversion (géométrie)
droite|vignette| Inversion d'un ensemble de Mandelbrot avec différentes translations
vignette| P est l'inverse de P par rapport au cercle.
Inverser un nombre en arithmétique signifie généralement prendre son inverse. Une idée étroitement liée en géométrie est celle de "l'inversion" d'un point. Dans le plan, linverse d'un point P par rapport à un cercle de référence (Ø) de centre O et de rayon r est un point P, situé sur le rayon O passant par P tel que
C'est ce qu'on appelle linversion par un cercle ou l'inversion par un plan. L'inversion prenant tout point P (différent de O) à son image P ramène également P à P, donc le résultat de l'application de la même inversion deux fois est la transformation d'identité sur tous les points du plan autres que O (involution) . Pour faire de l'inversion une involution il faut introduire un point à l'infini, un seul point placé sur toutes les droites, et prolonger l'inversion, par définition, pour intervertir le centre O et ce point à l'infini.
Il découle de la définition que l'inversion de tout point à l'intérieur du cercle de référence doit se trouver à l'extérieur de celui-ci, et vice versa, avec le centre et le point à l'infini changeant de position, tandis que tout point du cercle n'est pas affecté (est invariant par inversion). En résumé, plus un point est proche du centre, plus sa transformation est éloignée, et vice versa.
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