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Concept
Disque unité
Résumé
droite|vignette|Disque unité ouvert avec la distance euclidienne.
En mathématiques, le disque unité ouvert autour de P (où P est un point donné dans le plan), est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure à 1 :
Le disque unité fermé autour de P est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure ou égale à un :
Les disques unités sont des cas particuliers de disques et de boules unités ; en tant que tels, ils contiennent l'intérieur du cercle unité et, dans le cas du disque unité fermé, le cercle unité lui-même.
Sans autres spécifications, le terme « disque unité » est utilisé pour le disque unité ouvert à l'origine, , avec la métrique euclidienne standard. C'est l'intérieur d'un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Cet ensemble peut être identifié avec l'ensemble de tous les nombres complexes de module inférieur à un. Lorsqu'on le considère comme un sous-ensemble du plan complexe (C), le disque unité est souvent noté .
La fonction
est un exemple d'une fonction réelle analytique et bijective du disque unité ouvert vers le plan ; sa fonction inverse est aussi analytique. Considéré comme une variété analytique réelle 2-dimensionnelle, le disque unité ouvert est donc isomorphe au plan entier. En particulier, le disque unité ouvert est homéomorphe au plan.
Cependant, il n'y a pas une bijection conforme entre le disque unité et le plan. Considéré comme une surface de Riemann, le disque unité ouvert est donc différent du plan complexe.
Il existe des bijections conformes entre le disque unité ouvert et le . Donc considéré comme une surface de Riemann, le disque unité ouvert est isomorphe (« biholomorphe », ou « conformément équivalent ») au demi-plan supérieur, et les deux sont souvent utilisés de façon interchangeable.
Plus généralement, le théorème de l'application conforme de Riemann affirme que tout sous-espace simplement connexe du plan complexe qui est différent du plan complexe admet une bijection conforme vers le disque unité ouvert.
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