Dualité de HodgeEn algèbre linéaire, l'opérateur de Hodge, introduit par William Vallance Douglas Hodge, est un opérateur sur l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel euclidien orienté. Il est usuellement noté par une étoile qui précède l'élément auquel l'opérateur est appliqué. On parle ainsi d'étoile de Hodge. Si la dimension de l'espace est n, l'opérateur établit une correspondance entre les k-vecteurs et les (n-k)-vecteurs, appelée dualité de Hodge. En géométrie différentielle, l'opérateur de Hodge peut être étendu aux fibrés vectoriels riemanniens orientés.
Forme de LiouvilleEn géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur le fibré cotangent d'une variété différentielle. Sa dérivée extérieure est une forme symplectique. Elle joue un rôle central en mécanique classique. L'étude de la géométrie du fibré cotangent revêt une importance significative en géométrie symplectique en raison, notamment, du théorème de Weinstein. Si M est une variété différentielle de dimension n, désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n.
Forme volumeEn géométrie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles. Elle définit une mesure sur la variété, permet le calcul des volumes généralisés, et la définition générale des orientations. Une forme volume se définit comme une forme différentielle de degré maximal, nulle en aucun point. Pour qu'une variété admette une forme volume, il faut et il suffit qu'elle soit orientable. Dans ce cas, il en existe une infinité.
Forme linéaireEn algèbre linéaire, une forme linéaire sur un espace vectoriel est une application linéaire sur son corps de base. En dimension finie, elle peut être représentée par une matrice ligne qui permet d’associer à son noyau une équation cartésienne. Dans le cadre du calcul tensoriel, une forme linéaire est aussi appelée covecteur, en lien avec l’action différente des matrices de changement de base.
Géométrie différentiellevignette|Exemple d'objets étudiés en géométrie différentielle. Un triangle dans une surface de type selle de cheval (un paraboloïde hyperbolique), ainsi que deux droites parallèles. En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.
Dérivée covarianteEn géométrie différentielle, la dérivée covariante est un outil destiné à définir la dérivée d'un champ de vecteurs sur une variété. Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la connexion, à part la manière dont elles sont introduites. (Cela est faux quand la dérivée covariante n'existe pas en revanche ).
