En géométrie différentielle, la dérivée covariante est un outil destiné à définir la dérivée d'un champ de vecteurs sur une variété.
Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la connexion, à part la manière dont elles sont introduites. (Cela est faux quand la dérivée covariante n'existe pas en revanche ).
Dans la théorie des variétés riemanniennes et pseudo-riemanniennes, le théorème fondamental de la géométrie riemannienne montre qu'il existe un choix de connexion ou de dérivée covariante privilégié, et le terme « dérivée covariante » est souvent utilisé pour la connexion de Levi-Civita.
Dans cet article, on définit la dérivée covariante (aussi connue sous le nom de dérivée de tenseur) d'un vecteur au sein d'un champ vectoriel. La dérivée covariante d'un tenseur est une extension de ce concept.
L'ensemble de cet article utilise la convention de sommation d'Einstein pour les tenseurs et les coordonnées covariantes et contravariantes. Le lecteur est supposé avoir des notions concernant les variétés et particulièrement les vecteurs tangents.
Une dérivée covariante (aussi écrite ) d'un champ de vecteur u selon la direction v est une fonction définissant un vecteur (aussi écrit ou Dvu) qui dispose des propriétés d'une dérivée, décrites plus bas. Un vecteur est un objet géométrique indépendant du choix de la base. Lorsqu'on fixe un système de coordonnées, cette dérivée se transforme lors d'un changement de base « de la même manière » que le vecteur lui-même (selon une transformation covariante), d'où le nom de la dérivée.
Dans le cas d'un espace euclidien disposant d'un système de coordonnées orthonormées, on peut définir la dérivée d'un champ de vecteur en tant que différence entre deux vecteurs en deux points proches. Dans un tel système il est possible de translater un des vecteurs à l'origine de l'autre, parallèlement à lui-même. On obtient l'exemple le plus simple de dérivée covariante, obtenue en prenant la dérivée des coordonnées.
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vignette|Motivation de la courbure de Riemann pour les variétés sphériques. En géométrie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus généralement d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion. Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Le parallélisme ne sera pas nécessairement conservé en d'autres points de l'espace.
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, une connexion affine est un objet géométrique défini sur une variété différentielle, qui connecte des espaces tangents voisins, et permet ainsi à des champs de vecteurs tangents d'être dérivés comme si c'étaient des fonctions définies sur la variété et prenant leurs valeurs dans un unique espace vectoriel.
En mathématiques et en physique, les symboles de Christoffel (ou coefficients de Christoffel, ou coefficients de connexion) sont une expression de la connexion de Levi-Civita dérivée du tenseur métrique. Les symboles de Christoffel sont utilisés dans les calculs pratiques de la géométrie de l'espace : ce sont des outils de calculs concrets, par exemple pour déterminer les géodésiques des variétés riemanniennes, mais en contrepartie leur manipulation est relativement longue, notamment du fait du nombre de termes impliqués.
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Ce cours vous apportera une compréhension des concepts fondamentaux de la thermodynamique du point de vue de la physique, de la chimie et de l’ingénierie. Il est scindé un deux MOOCs. Première partie:
Couvre l'expression de l'énergie Kirchhoff-Saint Venant dans un cadre covariant et explore les équations d'équilibre pour les coquilles sphériques et la théorie linéaire des coquilles.
We report a systematic study of the magnetoelectric (ME) voltage coefficient as a complex quantity in the particulate composite of ferroelectric solid solution 0.94Pb(Fe1/2N1/2)O-3-0.06PbTiO(3)(PFN-PT