Concept

Espace de Hardy

Résumé
Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe. Le cas hilbertien : l'espace H(𝔻)
Définition Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité :
\forall z\in\mathbb D\qquad f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty} , \hat f(n)\ z^n\qquad\text{avec}\qquad\hat f(n):=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}. On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H(𝔻) si la suite (\hat f(n)) appartient à ℓ. Autrement dit, on a : H^2(\mathbb{D})=\left\lbrace f \in Hol(\mathbb{D})~\left|~\sum_{n=0}^{+ \infty} , |\hat f(n)|^2< +\infty\right.\right\rbrace On définit alors la norme de f par : |f|2:=\left(\sum{n=0}^{+ \infty}|\hat f(n)|^2\right)^\frac12. Exemple La fonction z\mapsto\log(1-z)= - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}n appartient à H(𝔻),
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