Martingale (calcul stochastique)

Une martingale est une séquence de variables aléatoires (autrement dit un processus stochastique), telles que l'espérance mathématique à l'instant , conditionnellement à l'information disponible à un moment préalable , notée , vaut (avec ). En particulier, dans un processus discret (t entier), . Une martingale peut modéliser les gains / pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard à espérance nulle (même si le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés), d'où l'emprunt du terme martingale au monde du jeu. On dira que est un processus adapté à la filtration . On parlera de sous-martingale si et de sur-martingale si . Processus stochastique Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par ou . Filtration Une filtration est une suite croissante de tribus (ou sigma-algèbres) , c'est-à-dire . Filtration naturelle Soit une suite de variables aléatoires. On dit que définie par est la filtration naturelle de la suite . Processus adapté On dit que le processus est adapté à la filtration si est -mesurable pour tout entier n. Martingale dans Soit une filtration. Soit une suite de variables aléatoires. On dit que est une martingale par rapport à si: est adaptée à la filtration . est intégrable pour tout entier n. Si respecte les deux premières conditions, et alors on l'appelle sous-martingale, et si , alors on l'appelle sur-martingale. On dit que est une -martingale. Processus prévisible Soit une filtration. Soit une suite de variables aléatoires. On dit que est processus prévisible si est -mesurable et est -mesurable pour tout entier n. Soit une ensemble partiellement ordonné un espace de Banach un espace probabilisé avec filtration une processus stochastique sur Alors est appelé un --martingale, si est -adapté, cela signifie , presque sûrement pour tous avec . Si en plus est vrai cela signifie , alors est un -martingal ou court -martingal. Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note).