Martingale (calcul stochastique)

Résumé

Une martingale est une séquence de variables aléatoires X_t (autrement dit un processus stochastique), telles que l'espérance mathématique E(X_t) à l'instant t , conditionnellement à l'information disponible à un moment préalable s, notée F_s, vaut E(X_t|F_s) = X_s (avec s \leq t). En particulier, dans un processus discret (t entier), E(X_{t+1}|X_0, X_1,... X_t) = X_t. Une martingale peut modéliser les gains / pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard à espérance nulle (même si le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés), d'où l'emprunt du terme martingale au monde du jeu. On dira que X est un processus adapté à la filtration F. On parlera de sous-martingale si E(X_t|F_s) \geq X_s et de sur-martingale si E(X_t|F_s) \leq X_s. Définitions Proces

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Martingale_(calcul_stochastique)

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On the rate of convergence in the martingale central limit theorem

Jean-Christophe Mourrat

Consider a discrete-time martingale, and let V-2 be its normalized quadratic variation. As V-2 approaches 1, and provided that some Lindeberg condition is satisfied, the distribution of the rescaled martingale approaches the Gaussian distribution. For any p >= 1, (Ann. Probab. 16 (1988) 275-299) gave a bound on the rate of convergence in this central limit theorem that is the sum of two terms, say A(p) + B-p, where up to a constant, A(p) = parallel to V-2 - 1 parallel to(p/(2p+1))(p). Here we discuss the optimality of this term, focusing on the restricted class of martingales with bounded increments. In this context, (Ann. Probab. 10 (1982) 672-688) sketched a strategy to prove optimality for p = 1. Here we extend this strategy to any p >= 1, thereby justifying the optimality of the term A(p). As a necessary step, we also provide a new bound on the rate of convergence in the central limit theorem for martingales with bounded increments that improves on the term B-p, generalizing another result of (Ann. Probab. 10 (1982) 672-688).

Int Statistical Inst2013

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Kantorovich distance in the martingale CLT and quantitative homogenization of parabolic equations with random coefficients

Jean-Christophe Mourrat

The article begins with a quantitative version of the martingale central limit theorem, in terms of the Kantorovich distance. This result is then used in the study of the homogenization of discrete parabolic equations with random i.i.d. coefficients. For smooth initial condition, the rescaled solution of such an equation, once averaged over the randomness, is shown to converge polynomially fast to the solution of the homogenized equation, with an explicit exponent depending only on the dimension. Polynomial rate of homogenization for the averaged heat kernel, with an explicit exponent, is then derived. Similar results for elliptic equations are also presented.

Springer Heidelberg2014

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A supermartingale approach to Gaussian process based sequential design of experiments

David Ginsbourger

2019

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