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Concept
Martingale (calcul stochastique)
Résumé
Une martingale est une séquence de variables aléatoires (autrement dit un processus stochastique), telles que l'espérance mathématique à l'instant , conditionnellement à l'information disponible à un moment préalable , notée , vaut (avec ).
En particulier, dans un processus discret (t entier), .
Une martingale peut modéliser les gains / pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard à espérance nulle (même si le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés), d'où l'emprunt du terme martingale au monde du jeu.
On dira que est un processus adapté à la filtration .
On parlera de sous-martingale si et de sur-martingale si .
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par ou .
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus (ou sigma-algèbres) , c'est-à-dire .
Filtration naturelle
Soit une suite de variables aléatoires. On dit que définie par est la filtration naturelle de la suite .
Processus adapté
On dit que le processus est adapté à la filtration si est -mesurable pour tout entier n.
Martingale dans
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est une martingale par rapport à si:
est adaptée à la filtration .
est intégrable pour tout entier n.
Si respecte les deux premières conditions, et alors on l'appelle sous-martingale, et si , alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que est une -martingale.
Processus prévisible
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est processus prévisible si est -mesurable et est -mesurable pour tout entier n.
Soit
une ensemble partiellement ordonné
un espace de Banach
un espace probabilisé avec filtration
une processus stochastique sur
Alors est appelé un --martingale, si
est -adapté,
cela signifie ,
presque sûrement pour tous avec .
Si en plus est vrai
cela signifie ,
alors est un -martingal ou court -martingal.
Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note).
Source officielle
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