Une martingale est une séquence de variables aléatoires (autrement dit un processus stochastique), telles que l'espérance mathématique à l'instant , conditionnellement à l'information disponible à un moment préalable , notée , vaut (avec ).
En particulier, dans un processus discret (t entier), .
Une martingale peut modéliser les gains / pertes accumulés par un joueur au cours de répétitions indépendantes d'un jeu de hasard à espérance nulle (même si le joueur s'autorise à modifier sa mise en fonction des gains passés), d'où l'emprunt du terme martingale au monde du jeu.
On dira que est un processus adapté à la filtration .
On parlera de sous-martingale si et de sur-martingale si .
Processus stochastique
Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires, généralement indexée par ou .
Filtration
Une filtration est une suite croissante de tribus (ou sigma-algèbres) , c'est-à-dire .
Filtration naturelle
Soit une suite de variables aléatoires. On dit que définie par est la filtration naturelle de la suite .
Processus adapté
On dit que le processus est adapté à la filtration si est -mesurable pour tout entier n.
Martingale dans
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est une martingale par rapport à si:
est adaptée à la filtration .
est intégrable pour tout entier n.
Si respecte les deux premières conditions, et alors on l'appelle sous-martingale, et si , alors on l'appelle sur-martingale.
On dit que est une -martingale.
Processus prévisible
Soit une filtration.
Soit une suite de variables aléatoires.
On dit que est processus prévisible si est -mesurable et est -mesurable pour tout entier n.
Soit
une ensemble partiellement ordonné
un espace de Banach
un espace probabilisé avec filtration
une processus stochastique sur
Alors est appelé un --martingale, si
est -adapté,
cela signifie ,
presque sûrement pour tous avec .
Si en plus est vrai
cela signifie ,
alors est un -martingal ou court -martingal.
Donnons ici une histoire anti-chronologique du nom (et non du concept) de martingale (issue de cette note).
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En mathématiques, le processus de Wiener est un processus stochastique à temps continu nommé ainsi en l'honneur de Norbert Wiener. Il permet de modéliser le mouvement brownien. C'est l'un des processus de Lévy les mieux connus. Il est souvent utilisé en mathématique appliquée, en économie et en physique. Le processus de Wiener est défini comme un mouvement brownien standard monodimensionnel, démarrant à l'origine, et à valeurs réelles.
En mathématiques, en économie et en physique théorique, une marche aléatoire est un modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche au hasard, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres ; cette dernière propriété, fondamentale, est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien Markov.
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2023
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We develop a comprehensive mathematical framework for polynomial jump-diffusions in a semimartingale context, which nest affine jump-diffusions and have broad applications in finance. We show that the polynomial property is preserved under polynomial trans ...