Caractère de Hecke

En théorie des nombres, un caractère de Hecke est une généralisation d'un caractère de Dirichlet, introduit par Erich Hecke pour construire une classe de fonctions L plus importante que les fonctions L de Dirichlet, et un cadre naturel pour les fonctions zêta de Dedekind et certaines autres qui ont des fonctions fonctionnelles analogues à celle de la fonction zêta de Riemann. Un nom parfois utilisé pour le caractère Hecke est le terme allemand Größencharakter (souvent écrit Grössencharakter, Grossencharacter, etc. ). Un caractère Hecke est un caractère du groupe de classe des idèles d'un corps de nombre ou d'un corps global. Il correspond de manière unique à un caractère du groupe des idèles algébrique qui est trivial sur idèles principaux, via la composition avec la carte de projection. Cette définition dépend de la définition d'un caractère, qui varie légèrement d'un auteur à l'autre : il peut être défini comme un homomorphisme à valeur dans les complexes non nuls (aussi appelé « quasi-caractère »), ou comme un homomorphisme sur le cercle unité (« unitaire »). Tout quasi-caractère (du groupe de classe des idèles) peut être écrit de manière unique comme un caractère unitaire multiplié par une puissance réelle de la norme, il n'y a donc pas de grande différence entre les deux définitions. Le conducteur d'un caractère de Hecke χ est le plus grand idéal m tel que χ soit un caractère de Hecke mod m. On dit ici que χ est un caractère de Hecke mod m si χ (considéré comme un caractère sur le groupe des idèles) est trivial sur le groupe des idèles finis dont toute composante v-adique appartient à 1 + mOv. La définition originale d'un caractère de Hecke était formulée en termes d'idéaux fractionnaires. Pour un corps de nombres K, soit m = mfm∞ un K-module, avec mf, la partie finie étant un idéal entier de K et m∞, la partie infinie, étant un produit de places réelles de K.