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Concept
Relation bien fondée
Résumé
En mathématiques, une relation bien fondée (encore appelée relation noethérienne ou relation artinienne) est une relation binaire vérifiant l'une des deux conditions suivantes, équivalentes d'après l'axiome du choix dépendant (une version faible de l'axiome du choix) :
pour toute partie non vide X de E, il existe un élément x de X n'ayant aucun R-antécédent dans X (un R-antécédent de x dans X est un élément y de X vérifiant yRx) ;
condition de chaîne descendante : il n'existe pas de suite infinie (xn) d'éléments de E telle qu'on ait xn+1Rxn pour tout n.
Un ordre bien fondé (encore appelé ordre noethérien ou ordre artinien) est une relation d'ordre dont l'ordre strict associé est une relation bien fondée.
Toute relation bien fondée est strictement acyclique, c'est-à-dire que sa clôture transitive est un ordre strict. Une relation R est bien fondée si sa clôture transitive l'est, ou encore si R est antiréflexive et si sa clôture réflexive transitive est un ordre bien fondé.
Sur l'ensemble N des entiers naturels, la relation R définie par x R y ⇔ y = x + 1 est bien fondée. Sa clôture transitive est l'ordre strict usuel
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Nombre ordinal
vignette|Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωω. En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession.
Théorie des ensembles non bien fondés
La théorie des ensembles non bien fondés est une variante de la théorie axiomatique des ensembles qui permet aux ensembles de s'appartenir les uns aux autres sans limite. Autrement dit, c'est une théorie des ensembles qui ne satisfait pas l'axiome de fondation. Plus précisément, dans la théorie des ensembles non bien fondés, l'axiome de fondation de ZFC est remplacé par un axiome impliquant sa négation.