Concept
Relation bien fondée
Concepts associés (16)
Well-ordering principle
In mathematics, the well-ordering principle states that every non-empty set of positive integers contains a least element. In other words, the set of positive integers is well-ordered by its "natural" or "magnitude" order in which precedes if and only if is either or the sum of and some positive integer (other orderings include the ordering ; and ). The phrase "well-ordering principle" is sometimes taken to be synonymous with the "well-ordering theorem".
Nombre ordinal
vignette|Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωω. En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession.
Théorie des ensembles non bien fondés
La théorie des ensembles non bien fondés est une variante de la théorie axiomatique des ensembles qui permet aux ensembles de s'appartenir les uns aux autres sans limite. Autrement dit, c'est une théorie des ensembles qui ne satisfait pas l'axiome de fondation. Plus précisément, dans la théorie des ensembles non bien fondés, l'axiome de fondation de ZFC est remplacé par un axiome impliquant sa négation.
Homogeneous relation
In mathematics, a homogeneous relation (also called endorelation) on a set X is a binary relation between X and itself, i.e. it is a subset of the Cartesian product X × X. This is commonly phrased as "a relation on X" or "a (binary) relation over X". An example of a homogeneous relation is the relation of kinship, where the relation is between people. Common types of endorelations include orders, graphs, and equivalences. Specialized studies of order theory and graph theory have developed understanding of endorelations.
Conditions de chaîne
Les conditions de chaîne (ascendante et descendante) sont deux propriétés mathématiques sur les ordres, identifiées initialement par Emmy Noether dans le contexte de l'algèbre commutative. Sur un ensemble partiellement ordonné (V, ≤), la condition de chaîne ascendante désigne la propriété suivante : toute suite croissante (xn)n ∈ N d'éléments de V est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang (il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N, xn = xN) ou également la propriété (équivalente car il s'agit d'une relation d'ordre) V ne contient pas de suite infinie strictement croissante.
Ensemble transitif
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) : ∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X) ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) : ∪X ⊂ X.
Axiome de fondation
L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie des ensembles. Introduit par Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem (1922) et John von Neumann (1925), il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs, même s'ils le considèrent souvent comme intuitivement vérifié. L'axiome de fondation fait ou non partie des axiomes de ZF (et ZFC) suivant les ouvrages. Dans la suite, on choisit de prendre ZF et ZFC sans axiome de fondation.
Bel ordre
En mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, un beau préordre est un préordre ≤ sur un ensemble X tel que pour toute suite (x) d'éléments de X, il existe i et j tels que i < j et x ≤ x, c'est-à-dire que toute suite infinie contient au moins une paire d'éléments qui sont en ordre croissant. Un bel ordre est un ordre partiel qui est beau en tant que préordre. Autrement dit, c'est un ordre partiel bien fondé sans antichaîne infinie.
Préordre
En mathématiques, un préordre est une relation binaire réflexive et transitive. C'est-à-dire que si E est un ensemble, une relation binaire sur E est un préordre lorsque : (réflexivité) ; (transitivité). Un ensemble préordonné est un ensemble muni d'un préordre, ou plus formellement un couple où désigne un ensemble et un préordre sur . Les ordres sont les préordres antisymétriques. Les relations d'équivalence sont les préordres symétriques. Dans un anneau commutatif, la relation « divise » est une relation de préordre.
Relation inverse
In mathematics, the converse relation, or transpose, of a binary relation is the relation that occurs when the order of the elements is switched in the relation. For example, the converse of the relation 'child of' is the relation 'parent of'. In formal terms, if and are sets and is a relation from to then is the relation defined so that if and only if In set-builder notation, The notation is analogous with that for an inverse function. Although many functions do not have an inverse, every relation does have a unique converse.