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Concept
Axiome de fondation
Résumé
L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie des ensembles. Introduit par Abraham Fraenkel, Thoralf Skolem (1922) et John von Neumann (1925), il joue un grand rôle dans cette théorie, alors que les mathématiciens ne l'utilisent jamais ailleurs, même s'ils le considèrent souvent comme intuitivement vérifié.
L'axiome de fondation fait ou non partie des axiomes de ZF (et ZFC) suivant les ouvrages. Dans la suite, on choisit de prendre ZF et ZFC sans axiome de fondation.
Axiome de fondation.—
Tout ensemble x non vide possède un élément minimal pour l'appartenance sur x, soit un élément y n'ayant aucun élément en commun avec x :
Par exemple, si x a pour élément l'ensemble vide, ce dernier conviendra pour y. C'est même le seul choix possible si x est un ensemble transitif non vide (qui a donc forcément l'ensemble vide pour élément).
Dans un univers de la théorie des ensembles qui satisfait l'axiome de fondation, les ensembles se conforment davantage à l'intuition :
aucun ensemble n'est élément de lui-même : on ne peut avoir x ∈ x, puisque sinon le singleton {x} fournirait un contre-exemple à l'axiome de fondation : {x} ∩ x = {x} ;
plus généralement, la relation d'appartenance n'a pas de cycle : on ne peut avoir x0 ∈ x1 et x1 ∈ x2 et ..., xn ∈ x0, puisque sinon {x0, ..., xn} contredirait l'axiome de fondation ;
plus généralement encore, on ne peut avoir de suite infinie d'ensembles (xn) telle que x0 ∋ x1 ∋ x2 ... ∋ xn ∋ xn+1, ..., puisque l'ensemble image de cette suite, {xn | n ∈ N}, contredirait l'axiome de fondation.
Cette dernière propriété signifie que la relation définie sur tout l'univers ensembliste par le prédicat à deux variables libres « x ∈ y » est bien fondée. Elle est équivalente à l'axiome de fondation si l'axiome du choix dépendant est vérifié. Ce dernier est un axiome du choix très faible qui permet de construire des suites et que le non-mathématicien suppose intuitivement toujours vérifié, souvent sans le savoir.
En présence de l'axiome de fondation, on n'a jamais « x ∈ x ».
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Univers de von Neumann
En théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.
Théorie des ensembles de Zermelo
La théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann. Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article.
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