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Concept
Variance (mathématiques)
Résumé
vignette|Exemple d'échantillons pour deux populations ayant la même moyenne mais des variances différentes. La population en rouge a une moyenne de 100 et une variance de 100 (écart-type = SD = standard deviation = 10). La population en bleu a une moyenne de 100 et une variance de (écart-type = SD = 50).
En statistique et en théorie des probabilités, la variance est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon ou d'une variable aléatoire. Elle exprime la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, aussi égale à la différence entre la moyenne des carrés des valeurs de la variable et le carré de la moyenne, selon le théorème de König-Huygens. Ainsi, plus l'écart à la moyenne est grand plus il est prépondérant dans le calcul total (voir la fonction carré) de la variance qui donnerait donc une bonne idée sur la dispersion des valeurs.
La variance est toujours positive, et ne s’annule que s’il n’y a essentiellement qu’une seule valeur. Sa racine carrée définit l’écart type σ, d’où la notation .
La variance est quadratique et invariante par translation. Elle peut être estimée à l’aide d’un échantillon et de la moyenne empirique ou de l’espérance si celle-ci est connue.
La variance apparait comme un cas particulier de covariance. Elle se généralise aussi pour des vecteurs aléatoires.
Étant donné une série statistique d’une variable réelle (x, x, ..., x), dont on a calculé la moyenne
la variance est la moyenne des carrés des écarts à cette moyenne :
Un développement du carré mène à la reformulation suivante :
autrement dit la variance est la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.
Quand la série prend les valeurs x, x, ..., x avec les fréquences f, f, ..., f, sa variance est :
La variance est un indicateur de dispersion des valeurs, c’est-à-dire qu’elle est toujours positive, ne s’annule que pour une série statistique dont tous les termes ont la même valeur, elle est d’autant plus grande que les valeurs sont étalées, et invariante par ajout d’une constante.
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