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Concept
Nombre premier régulier
Résumé
En mathématiques, un nombre premier p > 2 est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme X – 1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat », dans un article intitulé .
Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique Q(ζp), où ζp est une racine primitive p-ième de l'unité.
Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli Bk, pour k prenant les valeurs paires entre 2 et p – 3.
Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier. Les nombres premiers irréguliers forment la : 37, 59, 67, 101, les réguliers formant la suite .
Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de assure que pour tout sous-groupe propre H du groupe des unités de l'anneau Z/nZ, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo n n'appartient pas à H.
En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte.
Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si p est un nombre premier régulier, l'équation xp + yp = zp n'a pas de solutions pour x, y et z entiers relatifs tous non divisibles par p. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :
dans le corps Q(ζp). Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux (x + ζ y) et l'idéal (z) élevé à la puissance p. On peut montrer que les idéaux (x + ζ y) sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance p-ième d'un certain autre idéal Ai ; l'idéal A est principal, l'hypothèse que le nombre p est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de Q(ζp) — montre alors que l'idéal A lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme x + ζ y = εα, pour une certaine unité ε.
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