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Concept
Développement décimal
Résumé
En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs à l'aide des puissances de dix (d'exposant positif ou négatif). Lorsque les nombres sont des entiers naturels, le développement décimal correspond à l'écriture en base dix. Lorsqu'ils sont décimaux, on obtient un développement décimal limité. Lorsqu'ils sont rationnels, on obtient soit, encore, un développement décimal limité, soit un développement décimal illimité, mais alors nécessairement périodique. Enfin, lorsqu'ils sont irrationnels, le développement décimal est illimité et non périodique.
Tout nombre entier possède une écriture décimale qui nous est naturelle car enseignée depuis notre enfance. Nous prenons conscience du fait qu'il ne s'agit que d'une écriture lorsque les circonstances nous mettent en contact avec d'autres systèmes de numération.
Exemple : 123 827 = 1×10 + 2×10 + 3×10 + 8×10 + 2×10 + 7×10
Un nombre décimal est un nombre rationnel représentable par une fraction la forme N/10 n où est un entier relatif et un entier naturel. De façon équivalente, un nombre décimal est aussi un nombre rationnel représentable par une fraction p/q où la décomposition en facteurs premiers de ne comprend que les entiers 2 et 5.
Tout nombre décimal possède un développement décimal limité comportant éventuellement des puissances de dix à exposant négatif. Les exposants non nuls du développement de N/10 n sont tous supérieurs ou égaux à −.
Exemple :
Et on vérifie très simplement à l'aide d'une calculatrice que .
Réciproquement, tout nombre possédant un développement décimal limité est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par une puissance de dix adéquate pour retomber sur un entier.
Développement décimal périodique
Aborder l'écriture décimale de la plupart des nombres rationnels implique souvent un algorithme sans fin car l'écriture ne s'arrête jamais. On parle de développement décimal illimité.
Exemple : Division de 13 par 7
Puisque l'on obtient de nouveau le reste 6 (avant dernière ligne), en abaissant le 0, on se trouvera à diviser encore 60 par 7, à ré-obtenir pour quotient 8, pour reste 4, etc.
Source officielle
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