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Concept
Discrétisation
Résumé
En mathématiques appliquées, la discrétisation est la transposition d'un état (fonction, modèle, variable, équation) en un équivalent . Ce procédé constitue en général une étape préliminaire à la résolution numérique d'un problème ou sa programmation sur machine. Un cas particulier est la dichotomisation où le nombre de classes discrètes est 2, où on peut approcher une variable continue en une variable binaire.
La discrétisation est aussi reliée aux mathématiques discrètes, et compte parmi les composantes importantes de la programmation granulaire. Dans le contexte, la discrétisation peut renvoyer à la modification de la granularité, quand plusieurs variables discrètes sont réunies ou des catégories discrètes fusionnées.
Discrétiser des données continues engendre systématiquement une . Un des objectifs est donc de concevoir un modèle discret qui minimise au mieux cette erreur.
Il ne faut pas confondre discrétisation et quantification.
On compte également la et le bloqueur d'ordre 0 parmi les méthodes de discrétisation.
La discrétisation apparait dans la transformation d'équations différentielles continues en équations aux différence discrètes.
On considère le modèle d'état en espace, continu en temps :
où v et w sont des sources de bruit blanc avec une densité spectrale de puissance
peuvent être discrétisées, en supposant que le signal u est un bloqueur d'ordre 0 et une intégration continue pour le bruit v, donnant
avec des covariances
où
si A est régulière
et T est le temps d'échantillonnage, et est la transposée de A.
Une astuce pour calculer Ad et Bd en une étape consiste à utiliser la propriété
et donc
L'évaluation numérique de Q est rendue plus délicate avec l'intégrale d'une exponentielle de matrice. On peut la calculer en deux temps, d'abord la construction de la matrice, puis le calcul de son exponentielle
Le bruit discrétisé est ensuite évalué en multipliant la transposée du bloc en bas à droite de G avec celui en haut à droite :
En partant du modèle continu
on sait que l'exponentielle de matrice est
et en multipliant à gauche le modèle :
on reconnait
L'intégration donne ainsi
ce qui est une solution analytique du modèle continu.
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