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Concept
Théorème du rang
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau. C'est un corollaire d'un théorème d'isomorphisme. Il peut être interprété par la notion d'indice d'application linéaire.
En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une matrice par son rang.
vignette|Le théorème du rang.
Ce théorème résulte immédiatement du fait que pour tout sous-espace vectoriel V de E, on ait dim E = dim E/V + dim V et du théorème de factorisation d'après lequel E/ker(f) est isomorphe à im(f).
Une autre démonstration, constructive, consiste à vérifier que pour toute base (u) du noyau et toute base (f(u)) de l'image — indexées par des ensembles S et T disjoints —, (u) est une base de E :
cette famille est génératrice : pour tout vecteur x, en notant xt les coordonnées de f(x) dans la base de l'image, et xs celles de x – ∑xu dans la base du noyau, on obtient x = ∑xu ;
elle est libre : si une combinaison linéaire ∑xu est nulle alors, en prenant l'image par f, 0 + ∑ xf(u) = 0, donc par indépendance des f(u) les x sont nuls, si bien que l'hypothèse de départ se simplifie en ∑ xu = 0, dont on déduit, par indépendance des us, que les xs sont nuls aussi.
Lorsque les espaces vectoriels E et F sont de dimension finie et ont même dimension n, le théorème du rang permet d'établir l'équivalence entre les propriétés suivantes :
l'application f est un isomorphisme de E sur F ;
l'application f est surjective ;
l'application f est injective ;
le rang de f est égal à n.
Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E de dimension finie dans lui-même.
On a comme précédemment la relation :
d'où l'on déduit que im f et ker f sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul.
Le théorème du rang peut s'écrire pour les matrices. Si A est une matrice (m, n) sur un corps K, alors
où U est l'application linéaire de K dans K canoniquement associée à la matrice A.
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