Concept

Théorème du rang

Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau. C'est un corollaire d'un théorème d'isomorphisme. Il peut être interprété par la notion d'indice d'application linéaire. En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une matrice par son rang. Le théorème du rang vignette|Le théorème du rang. Ce théorème résulte immédiatement du fait que pour tout sous-espace vectoriel V de E, on ait dim E = dim E/V + dim V et du théorème de factorisation d'après lequel E/ker(f) est isomorphe à im(f). Une autre démonstration, constructive, consiste à vérifier que pour toute base (u) du noyau et toute base (f(u)) de l'image — indexées par des ensembles S et T disjoints —, (u) est une base de E :
  • cette famille est génératrice : pour tout vecteur x, en notant xt les coordonnées de f(x) dans la base de l'image, et xs ce
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