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Concept
Espace colonne et espace des rangées
Résumé
En algèbre linéaire, lespace colonne (aussi appelé espace des colonnes ou ) d'une matrice A est l'espace engendré par toutes les combinaisons linéaires de ses vecteurs colonne. L'espace colonne d'une matrice est l'image de lapplication linéaire correspondante.
Soit un corps. L'espace colonne d'une matrice de taille à éléments dans est un sous-espace vectoriel de . La dimension d'un espace colonne est appelé le rang d'une matrice et est au plus égal au minimum de et .
Une définition des matrices sur un anneau est également possible.
Lespace ligne (ou espace des rangées) est défini de façon similaire.
Cet article ne traite que le cas de matrices réelles. Les espaces colonne et ligne sont donc des sous-espaces des espaces réels et respectivement.
Soit A une matrice de taille m×n. Alors
rg(A) = dim(Vect(Col(A))) = dim(Vect(L(A))),
rg(A) = nombre de pivots dans toute forme échelonnée de A,
rg(A) = nombre maximum d'éléments linéairement indépendants parmi les colonnes et les lignes de A.
En considérant la matrice comme une application linéaire de et , l'espace colonne de la matrice correspond à l' de cette application linéaire.
L'espace colonne d'une matrice A est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. Si A = [a1, ..., an], alors Vect(Col(A) = Vect{a1, ...., an} .
Le concept d'espace des rangées s'étend aux matrices complexes, ou pour tout corps.
Intuitivement, pour une matrice donnée A, l'action d'une matrice A sur un vecteur x va renvoyer une combinaison linéaire des colonnes de A pondérées par les coordonnées de x comme coefficients.
Soit la matrice J :
les lignes sont donc
r1 = (2,4,1,3,2),
r2 = (−1,−2,1,0,5),
r3 = (1,6,2,2,2),
r4 = (3,6,2,5,1).
Ainsi, l'espace ligne de J est le sous-espace de R5 engendré par { r1, r2, r3, r4 }.
Ces quatre vecteurs lignes sont linéairement indépendants, donc l'espace ligne est de dimension 4. On peut aller plus loin en remarquant que les quatre vecteurs sont orthogonaux au vecteur ligne n = (6,−1,4,−4,0), donc l'espace ligne de J peut être défini comme le sous-espace des vecteurs de à n.
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