En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier. Soit f une fonction définie sur un ensemble totalement ordonné T et à valeurs dans un espace métrique (E, d). Pour toute subdivision σ = (x, x, ... , x) d'un intervalle quelconque de T, on définit V(f, σ) par : On appelle variation totale de f sur T la valeur V(f) ∈ définie par : On dit que f est à variation bornée si cette borne supérieure V(f) est finie, autrement dit si l'« arc » (non nécessairement continu) défini par f est rectifiable au sens de Jordan. Les fonctions monotones forment une classe importante de fonctions en analyse. Cependant elle présente l'inconvénient de ne pas être invariante pour des opérations algébriques basiques : la somme de deux fonctions monotones par exemple n'est pas nécessairement monotone. Comme toute fonction à variations bornées est somme de deux fonctions monotones et réciproquement, les fonctions à variations bornées peuvent être vues comme une généralisation des fonctions monotones mais avec l'avantage que l'ensemble des fonctions à variations bornées muni de l'addition ou de la multiplication forme un anneau : la somme et le produit de deux fonctions à variations bornées est à variations bornées. La variation totale (finie ou infinie) d'une fonction f continue sur un segment réel [a, b] est non seulement la borne supérieure des V(f, σ) quand σ parcourt les subdivisions de [a, b], mais aussi leur limite, quand le pas de la subdivision σ tend vers 0. On en déduit que pour une fonction continue à variation bornée f, l'application t ↦ V(f) est continue. Si φ est une bijection croissante d'un autre ensemble totalement ordonné S vers T, la variation totale de f∘φ sur S est égale à celle de f sur T. Pour tout espace vectoriel normé E, les fonctions à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de T dans E.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Cours associés (9)
COM-502: Dynamical system theory for engineers
Linear and nonlinear dynamical systems are found in all fields of science and engineering. After a short review of linear system theory, the class will explain and develop the main tools for the quali
MATH-305: Introduction to partial differential equations
This is an introductory course on Elliptic Partial Differential Equations. The course will cover the theory of both classical and generalized (weak) solutions of elliptic PDEs.
MATH-106(en): Analysis II (English)
The course studies fundamental concepts of analysis and the calculus of functions of several variables.
Afficher plus
Séances de cours associées (64)
Curvature gaussienne dans les assiettes
Explore la courbure gaussienne, les courbures principales et la déformation non linéaire dans des plaques élastiques minces.
Théorie des systèmes dynamiques pour les ingénieurs: Stabilité à grande échelle
Explore la stabilité à grande échelle dans les systèmes dynamiques, en mettant l'accent sur les trajectoires non croissantes et la diminution stricte d'une fonction spécifique.
Théorie des systèmes dynamiques pour les ingénieurs: Stabilité à grande échelle
Couvre le concept de stabilité à grande échelle dans les systèmes dynamiques.
Afficher plus
Publications associées (119)
Concepts associés (11)
Variation totale d'une fonction
En mathématiques, la variation totale est liée à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction. Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ R, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la projection sur l'axe des ordonnées de la courbe paramétrée (x, f(x)), pour x ∈ [a, b]. L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan, afin de démontrer un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée.
Fonction localement intégrable
En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert Ω de R est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de Ω est intégrable pour la mesure de Lebesgue λ. L'espace vectoriel de ces fonctions est noté L(Ω) et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté L(Ω).
Semimartingale
In probability theory, a real valued stochastic process X is called a semimartingale if it can be decomposed as the sum of a local martingale and a càdlàg adapted finite-variation process. Semimartingales are "good integrators", forming the largest class of processes with respect to which the Itô integral and the Stratonovich integral can be defined. The class of semimartingales is quite large (including, for example, all continuously differentiable processes, Brownian motion and Poisson processes).
Afficher plus

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.