Variation totale d'une fonction

En mathématiques, la variation totale est liée à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction. Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ R, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la projection sur l'axe des ordonnées de la courbe paramétrée (x, f(x)), pour x ∈ [a, b]. L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan, afin de démontrer un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas si simple. La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle est donnée par : où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions de l'intervalle donné. Soit Ω un sous-ensemble ouvert de Rn. Pour une fonction f dans L(Ω), la variation totale de f sur Ω est définie par : où est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine borné. La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant. La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f est Riemann-intégrable Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné , la variation totale de f est alors donnée par où désigne la norme l. On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie. La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables).